Encontramos la respuesta a esta inconveniente, al menos eso pensamos. Si continuas con interrogantes puedes dejar un comentario, que sin tardanza
Solución:
Dado que la métrica $g_munu=g_numu$ es simétrica, debemos exigir que
$$beginalign delta g_munu~=~&delta g_numucr~=~½left(delta g_ munu+delta g_numuright)cr~=~½left( delta_mu^alphadelta_ nu^beta + delta_nu^alphadelta_mu^betaright)delta g_alphabeta,endaligntag 1$$
y por lo tanto
$$ fracdelta g_munudelta g_alphabeta ~=~frac12left( delta_mu^alpha delta_nu^beta + delta_nu^alphadelta_mu^betaright).tag2$$
El precio que pagamos por tratar las entradas de la matriz $g_alfabeta$ como $n^2$ variables independientes (a diferencia de $fracn(n+1)2$ elementos simétricos) es que aparece una mitad en las variaciones fuera de la diagonal.
Otra verificación del formalismo es que la derecha y la izquierda de la ec. (2) deben ser idempotentes debido a la regla de la cadena. Para más motivación, vea, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
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