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Valores propios de un $A^TA$

La guía o código que verás en este artículo es la resolución más sencilla y efectiva que encontramos a esta inquietud o dilema.

Solución:

Pista: Supongamos que $v$ es un $n veces 1$ vector ortogonal a $A$ (o más precisamente, $w$ es un $1 veces n$ vector ortogonal a $A$y $v = w^t$). ¿Qué obtienes cuando calculas $A^*Av$?

$$A^tA = beginpmatrix a_1a_1 & a_1a_2 & a_1a_3 & dots & a_1a_n\ a_2a_1 & a_2 a_2 & a_2a_3 & dots & a_2a_n \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots \ a_na_1 & a_na_2 & a_na_3 & dots & a_na_n endpmatrix$$

Todas las columnas se pueden obtener multiplicando por un escalar la primera columna, por lo que $rango(A^tA)=1$. Asi que $0$ es un valor propio con multiplicidad $n-1$. La suma de los valores propios es igual a la traza de la matriz, por lo que puede encontrar fácilmente el último valor propio.

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