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Solución:
Es conveniente saber que si tiene un montón de conjuntos y luego hace algo con estos conjuntos (por ejemplo, tomar su producto cartesiano), entonces el objeto que obtendrá seguirá siendo manejable. En otras palabras, queremos saber que podemos realizar muchas operaciones convenientes con conjuntos que nos gustan y aun así permanecer en el mismo ‘universo’ de conjuntos que nos gustan. La paradoja de Russele demuestra claramente que esto no es nada trivial.
En la teoría de conjuntos, el universo de conjuntos, o conjunto de discurso, se utiliza de dos maneras diferentes. Ingenuamente, solo especifica un conjunto del que provienen todos los elementos cuando escribes $forall$ o $exists$. Por ejemplo, cuando se habla de números reales, generalmente se asume que el conjunto del discurso es $mathbb R$. En la teoría axiomática de conjuntos, uno especifica algunos axiomas de la teoría de conjuntos y luego considera los modelos de los axiomas. Un modelo del axioma es en sí mismo un conjunto cuyos elementos son los conjuntos que define el modelo. Entonces, ‘set’ aquí se usa de dos maneras totalmente diferentes. El universo es el conjunto $M$ que es el modelo de los axiomas de la teoría de conjuntos. Los elementos de $M$ son todos los conjuntos que permite el modelo. El conjunto $M$ en sí mismo, por lo general, no es un elemento en $M$, por lo que no es un conjunto en el modelo.
En teoría de categorías es conveniente saber que dado un conjunto de categorías podemos realizar muchas construcciones con ellas, como formar categorías de funtores. Esto significa que la teoría de conjuntos subyacente que empleamos debe ser lo suficientemente fuerte como para permitir muchas construcciones ‘grandes’. Grothendieck introdujo la noción de una torre de universos de conjuntos para gestionar estas construcciones. Esto es necesario ya que las categorías típicas son grandes en el sentido de que sus objetos no forman un conjunto de la misma magnitud que los hom-sets. Por ejemplo, para dos grupos cualesquiera $G,H$, el hom-set de todos los homomorfismos de grupo $psi:Gto H$ es de hecho un conjunto (incluso si los grupos son muy grandes). Entonces, cuando definimos la categoría $Grp$, cada hom-set es solo un conjunto, pero la clase de todos los grupos no forma un conjunto. Por lo tanto, existe una jerarquía, utilizando universos de Grothendieck, de tamaños para categorías y varias construcciones pueden trascender el tamaño de las categorías en las que opera, o no, según las construcciones.
En ese sentido, la categoría $Cat$ generalmente se refiere a la categoría de todas las categorías pequeñas, es decir, todas las categorías cuyos objetos forman un conjunto (en un nivel fijo de la torre de universos que es ambiental y se supone fijo). Por lo tanto, la categoría $Cat$ en sí misma no es una categoría pequeña (evitando paradojas tan tontas como la categoría de todas las categorías conteniéndose a sí misma como un objeto). En cambio, $Cat$ es una categoría más grande que cualquiera de las categorías que contiene (lo cual tiene sentido). $Cat$ sigue siendo un objeto manejable usando universos, sin embargo, la categoría $CAT$ de todos categorías es enorme y presenta muchas más dificultades si uno realmente necesita lidiar con eso.
Para ver la importancia de los problemas de tamaño en la teoría de categorías, recuerde que una categoría se llama completa pequeña si tiene todos los límites indexados por conjuntos, y que una categoría es un poset si entre cualquiera de sus dos objetos hay como máximo un morfismo. Hay un montón de pequeñas categorías completas (por ejemplo, $Set$, $Grp$) que claramente no son poses. Curiosamente, si uno observa categorías completas (es decir, aquellas que tienen todos los límites, sin restricción de tamaño), entonces cualquiera de esas categorías debe ser una pose.
Que es true es que la mayor parte de la discusión matemática tiene lugar en el contexto de algún conjunto, que se llama “el universo del discurso”. No puedes tener un “conjunto universal”; La paradoja de Russel despacha esa noción.
En la teoría de conjuntos “reales”, generalmente no hay un conjunto universal. La razón es que nos preocupamos por la colección de todos los conjuntos, y en la teoría de conjuntos moderna esto no es un conjunto. Es una colección que podemos definir y podemos discutir significativamente, pero no es un conjunto.
Por otro lado, en casi cualquier aplicación matemática, en particular en la lógica donde tenemos estructuras para un lenguaje y modelos de una teoría, el universo del discurso es un conjunto. Entonces, lo que hacemos es trabajar con respecto a ese conjunto, en lugar de todo el universo de la teoría de conjuntos.
En la teoría de categorías hay un problema con la categoría de categorías, y ese es el mismo problema que hace que el conjunto de todos los conjuntos sea problemático. Pero hay maneras de superar este problema.
El término universo en la teoría de categorías, a menudo significa algún universo teórico conjunto que podemos ver como un conjunto desde el punto de vista de un universo más grande, entonces podemos trabajar dentro de ese universo y fuera de ese universo. Esto nos permite hablar de categorías cuyos objetos y morfismos son miembros de ese universo, y categorías que son demasiado grandes con respecto al primer universo, pero bastante pequeñas con respecto al segundo universo.