Solución:
Algo sobre lo que pensar:
Dado que los lanzamientos de monedas son independientes, y suponiendo que la moneda es justa, la probabilidad de que diez lanzamientos de monedas caigan cara es:
$$ P (H) cdot P (H) cdot P (H) cdot P (H) cdot P (H) cdot P (H) cdot P (H) cdot P (H) cdot P (H) cdot P (H) = (0.5) ^ {10} $$
La probabilidad de que nueve monedas caigan cara y el décimo caiga cruz es:
$$ P (H) cdot P (H) cdot P (H) cdot P (H) cdot P (H) cdot P (H) cdot P (H) cdot P (H) cdot P (H) cdot P (T) = (0.5) ^ {10} $$
¡Las probabilidades son las mismas! Así que tenía las mismas posibilidades de morir o no morir.
Todas las respuestas proporcionadas explican por qué no existe una “paradoja”. Me gustaría brindarle una respuesta que sea bastante intuitiva (con suerte) que formal.
Su pregunta es un buen ejemplo de lo que se conoce como “falacia de los jugadores” (ver, Croson y Sundali (2005)). La falacia ocurre cuando uno asume erróneamente que un contenedor del que se extrae es finito. En su ejemplo, piense en tener una cabeza como sacar una bola azul de un recipiente y tener una cola como sacar una bola roja del mismo recipiente, y el recipiente contiene numerablemente infinito bolas, la mitad de las cuales son azules y la otra mitad rojas. Observe que si saca $ 9 $ bolas azules del contenedor en una fila, la probabilidad de sacar otra bola sigue siendo $ frac {1} {2} $ ya que todavía quedan infinitas bolas azules. esto es cierto incluso si saca $ 1000 $ bolas azules (de hecho, cualquier número finito de bolas) del contenedor en una fila, lo que significa que la probabilidad de que $ 1001 $ st bola sea azul sigue siendo $ frac {1} {2 PS Este es el caso del lanzamiento de una moneda: incluso si sale cara $ 1000 $ veces seguidas, la probabilidad de que salga cara en $ 1001 $ st lanzamiento es $ frac {1} {2} $. La razón por la que cree que tiene una paradoja es que está asumiendo erróneamente que está sacando bolas de un recipiente que contiene un número finito de bolas.
Las respuestas dadas hasta ahora son todas teóricas. Seamos prácticos.
Ejercicio 1:
Ve a buscar una moneda ahora mismo y un trozo de papel.
Lanza la moneda hasta que salga cara tres veces seguidas. Ahora bien, si la teoría del hombre es correcta, debería ser más probable que el próximo lanzamiento sea cruz. Lanza la moneda una vez más y registra el resultado.
Repite este ejercicio tantas veces como sea necesario para convencerte de que después de tres caras seguidas, las posibilidades de que salga cara siguen siendo de 50 a 50 dólares. Solo debería llevarte unos minutos.
Ejercicio 2:
Ve al banco y consigue diez dólares en centavos. Eso es $ 1000 $ centavos. (O, cualquiera que sea la moneda más barata del país donde vive). Nuevamente, obtenga una hoja de papel y dos frascos grandes.
Ponga los centavos en el primer frasco grande, agítelos y tírelos. Tome cada centavo que haya caído “cara” y vuelva a colocarlo en el primer frasco; poner las colas en el segundo frasco. Debería haber alrededor de $ 500 $ en cada uno.
Ahora hazlo de nuevo, pero solo voltea los que salieron cara. Nuevamente, separe las cabezas de las colas. Ahora debería haber alrededor de $ 250 $ monedas que han salido cara dos veces y $ 750 $ que han salido cruz al menos una vez.
Hazlo otra vez. Continúe haciéndolo hasta que no tenga monedas en el frasco de cabezas, o tenga un grupo de monedas que se lanzaron y salieron cara nueve veces seguidas. Si no te queda ninguno, empieza de nuevo.
Bien, ahora tienes al menos una moneda que acaba de salir cara nueve veces seguidas. Dale la vuelta y registra los resultados. Según la teoría del hombre, esa moneda casi nunca debería ser cara. ¿Qué es en realidad?
Nuevamente, repita el experimento hasta que tenga evidencia convincente de que monedas no recuerdo lo que les paso en el pasado.