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Solución:
La respuesta corta es que el caso de un cable finito viola uno de los postulados de la magnetostática, que es que $ nabla cdot vec j = 0 $. En los casos en que la corriente tiene sumideros, la ley de Biot-Savart no es equivalente a la ley de Ampere, sino a una ley de Maxwell-Ampére “magnetoestacionaria”.
Por lo tanto, en este caso bastante especial, obtiene el mismo resultado de la ley de Biot-Savart y de la ley de Maxwell-Ampére. Está no por coincidencia.
A continuación, se muestra un bosquejo de una prueba; para obtener detalles sangrientos, consulte la Introducción a la electrodinámica de Griffiths. (Algunos detalles están en wikipedia)
La ley de Biot-Savart se puede escribir de forma equivalente como $$ vec B ( vec r) = frac mu 4 pi nabla times int frac vec j ( vec r ‘) d ^ 3 r ‘$$ Es importante recordar que el rizo actúa solo sobre la r no imprimada. Ahora podemos tomar un rizo de la ecuación anterior, usar la fórmula rizo rizo, darnos cuenta de que el laplaciano de $ 1 / r $ es proporcional a la función delta y usar algunos otros trucos para obtener $$ nabla times vec B = frac mu 4 pi nabla ( int frac nabla ‘ cdot vec j d ^ 3 r ‘) + mu vec j $$ Donde el nabla primado actúa sobre el r primado. Cuando la corriente no tiene divergencia, simplemente obtenemos la ley de Ampere en forma diferencial.
Sin embargo, si la corriente tiene una divergencia distinta de cero y satisface la conservación de la carga, tenemos $ nabla cdot vec j = – partial_t rho $. Si luego asumimos que $ partial_t B = 0 $ (“magnetostacionalidad”), la ley de Gauss y otras leyes de la electrostática no cambian. Entonces, podemos usar la solución electrostática del potencial eléctrico $ phi $ para derivar fácilmente que $$ frac mu 4 pi nabla ( int frac – partial_t rho d ^ 3 r) = – mu epsilon nabla ( partial_t phi) $$ Pero también podemos cambiar el orden de las derivadas y usar $ vec E = – nabla phi $ para ver finalmente que en el caso especial “magnetoestacionario” con conservación de carga, la ley de Biot-Savart será equivalente a la ley de Maxwell-Ampére completa $$ nabla times vec B = mu ( vec j + epsilon parcial_t vec E) $$
Tenga en cuenta que la ocurrencia práctica de casos en los que la contribución de Maxwell a la ley de Ampére no es despreciable mientras que la inducción de Faraday es despreciable es muy pequeña. Por tanto, se debería entender la validez “magnetoestacionaria” de la ley de Biot-Savart como más una curiosidad.
Por ejemplo, en su caso, las cargas tendrían que ser muy grandes y el conductor entre ellas un conductor muy malo. Cuando las dos esferas se conectan, surge una onda electromagnética. Solo cuando la onda abandona el sistema y la corriente estacionaria está bien establecida, podemos usar la ley de Biot-Savart.
Sí, el resultado es correcto siempre que la descarga sea lo suficientemente lenta como para que el campo eléctrico en el espacio cerca del punto de interés y alrededor del cable esté dado con precisión por la fórmula de Coulomb:
$$ mathbf E_C ( mathbf x) = frac 1 4 pi epsilon_0 int rho ( mathbf x ‘) frac mathbf x- mathbf x’ ^ 3 d ^ 3 mathbf x’. $$
Esta parece ser una situación muy común: el campo eléctrico cerca de circuitos eléctricos de CA de baja frecuencia hechos de elementos resistivos y capacitivos debería ser casi Coulombic (plausible, ya que el concepto de potencial se usa con éxito para analizar su funcionamiento $ ^ 1 $).
En tales situaciones, la fórmula de Biot-Savart es aplicable y proporciona un resultado preciso. He aquí la razón.
La ecuación exacta de Maxwell-Ampere es
$$ nabla times mathbf B = mu_0 mathbf j + mu_0 epsilon_0 partial_t mathbf E. ~~~
$$
Denotemos el campo dado por la fórmula de Biot-Savart como $$ mathbf B_ BS ( mathbf x) = int frac mu_0 4 pi frac mathbf j ( mathbf x ‘) times ( mathbf x- mathbf x’) , mathrm d ^ 3 mathbf x’. $$
Mostraremos que este campo resuelve la ecuación exacta
si el campo eléctrico viene dado por la fórmula de Coulomb.
El rizo de este campo se puede expresar como
$$ nabla times mathbf B_ BS ( mathbf x) = frac mu_0 4 pi int nabla _ mathbf x ! times big ( mathbf j ( mathbf x ‘) times mathbf F ( mathbf x, mathbf x’) big) d ^ 3 mathbf x ‘$$ donde $$ mathbf F ( mathbf x, mathbf x’) = frac mathbf x- mathbf x ‘ ^ 3. $$ La integral se puede transformar en
$$ int mathbf j 4 pi delta ( mathbf x ‘- mathbf x) d ^ 3 mathbf x’ + int ( nabla ‘! cdot mathbf j) mathbf F d ^ 3 mathbf x ‘- int nabla’ cdot ( mathbf j mathbf F) d ^ 3 mathbf x ‘. $$
Elijamos la región de integración de tal manera que $ mathbf j = mathbf 0 $ en todas partes de su límite (las cargas en movimiento no cruzan el límite). Entonces la tercera integral es cero (esto se puede demostrar usando el teorema de Gauss). La divergencia en la segunda integral se puede expresar como $ – partial_t rho $ basado en la ecuación de continuidad. Volviendo al rizo de $ mathbf B_ BS $, obtenemos
$$ nabla times mathbf B_ BS ( mathbf x) = mu_0 mathbf j ( mathbf x) + epsilon_0 mu_0 partial_t mathbf E_C. $$ static Ahora podemos ver que $ mathbf B_ BS $ resuelve la ecuación exacta de Maxwell-Ampere
siempre que el campo eléctrico esté dado por la fórmula de Coulomb.
Entonces, la fórmula de Biot-Savart no se limita a
corrientes como la gente a veces asume, pero también se aplica a corrientes cambiantes. Por lo tanto, es más general que la fórmula integral de amperios.
$ ^ 1 $
A excepción de los fenómenos de inducción electromagnética, cerca de bobinas e imanes en movimiento, el campo eléctrico es rotacional, lo que no puede describirse con la fórmula de Coulomb.
Implícitamente, lo que está haciendo en este problema es tomar el límite $ epsilon_0 rightarrow 0 $ en un problema de electrodinámica. static Sean $ q _ + (t) $ y $ q _- (t) $ las dos cargas de las esferas en el momento $ t $: $ q _ + (0) = Q $, $ q _- (0) = – Q $. Dado que la velocidad de la luz es (grande pero) finita, la carga tardará un tiempo finito en moverse a través del cable, por lo que $ | q _- (t) | – | q _ + (t) | geq 0 $, y la diferencia está en el cable como una densidad de carga $ rho (t, x) $. La densidad de corriente en el cable es $ I (x) = v (x) rho (x) $, donde $ v (x) $ es la velocidad de las cargas en el cable. static La versión de Ampere-Maxwell que debe usar es wrt $ q_ +, q _-, rho $ y los campos eléctricos y las corrientes que estos dos inducen. Ahora, tomamos el límite $ epsilon_0 rightarrow 0 $. ¿Qué sucede con las cantidades del problema? Primero, en $ epsilon_0 = 0 $, la fuerza de Coulomb es infinita, entonces $ v (x) rightarrow infty $, y de manera similar, debido a que la carga se mueve a través del cable infinitamente rápido, obtenemos $ | q _- (t) | – | q _ + (t) | = 0 $ y, por tanto, $ rho (x) = 0 $. Ahora, la densidad actual $ I (x) $ debe ir a $ dq / dt $ para que se satisfaga la ecuación de continuidad. Esto explica que usa la densidad de corriente correcta.
El campo eléctrico inducido es igual al campo por las cargas $ q _-, q _ + $, que usa, más los efectos radiativos. Estos efectos radiativos (ver los potenciales de Lienard-Wiechert para un ejemplo) se desvanecen en el límite $ epsilon_0 rightarrow 0 $, que toma $ c rightarrow infty $. Entonces, para el campo eléctrico solo tienes que usar el
componente, como lo hizo usted. Esta
El componente es infinito, pero el infinito se cancela: el $ epsilon_0 / epsilon_0 $ que tachaste se encarga de eso. static Para un rigor matemático completo, debes tener un poco de cuidado con la forma en que tomas todos estos límites, pero te prometo que se verificará.
De manera equivalente, si busca los potenciales de Lienard-Wiechert en wikipedia, encontrará la generalización relativista a la ley de Biot-Savart. Si toma $ epsilon_0 rightarrow 0 $ en esta expresión, recupera la ley de Biot-Savart. Esto demuestra, de una manera ciertamente indirecta, que ambos enfoques son equivalentes.
Si lee entre líneas el argumento anterior, lo que está oculto allí es una prueba de que la ley de Biot-Savart solo descuida los campos radiantes. Variaciones en el
Biot-Savart tiene en cuenta correctamente la parte de culombios del campo eléctrico, razón por la cual los dos métodos concuerdan.