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¿Un subgrupo abeliano inyecta en la abelianización de todo el grupo?

Investigamos por distintos espacios y así mostrarte la respuesta para tu inquietud, en caso de alguna inquietud puedes dejarnos la pregunta y responderemos porque estamos para servirte.

Solución:

No. Toma $G=S_3$. La abelianización de $G$ es $C_2$. Pero $C_3$ es un subgrupo de $S_3$ y ciertamente no se inyecta en $C_2$.

La propiedad universal correcta de la abelianización es la siguiente:

Sea $G$ un grupo, sea $H$ un grupo abeliano y sea $phicolon Gto H$ un homomorfismo. Entonces hay un único homomorfismo $hatphicolon G/[G,G]to H$ tal que $phi$ se factoriza como: $$ phi= GxrightarrowpiG/[G,G]xrightarrowsombrerophi H $$

De hecho, esto sucede todo el tiempo para un grupo no abeliano $G$. Si $G$ no es abeliano, entonces su subgrupo conmutador $[G,G]$ no es trivial. Toma cualquier $xin[G,G]$ diferente de $1$, y sea $H$ el subgrupo generado por $x$. Entonces $H$ es abeliano pero corresponde a $0$ en el cociente $G/[G,G]ps

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