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Solución:
Para una respuesta libre de base, considere $ S en L (V) $ dado por $ S x = f (x) v $ para algún vector $ v $ y algún funcional lineal $ f $ en V. Entonces $ TS x = f (x) T v = ST x = f (T x) v $ para cualquier x. En particular, siempre que exista un funcional lineal no trivial $ f $ en $ V $, hay $ x $ tal que $ f (x) ne 0 $, y luego $ T v = alpha v $ para todo $ v $, donde $ alpha = f (T x) / f (x) $. Esto funciona incluso para espacios de dimensión infinita, aunque creo que en general se necesita el axioma de elección para obtener un funcional lineal no trivial en un espacio vectorial.
Suponga $ TS = ST $ por cada $ S $. Muestre que $ Tv = a_ v v $ por cada $ v en V $ donde $ a_v $ podría depender de $ v $. En otras palabras, demuestre que $ v $ y $ Tv $ son linealmente dependientes para cada $ v en V $.
Supongamos, por contradicción, que son linealmente independientes. Dado que $ (v, Tv) $ es linealmente independiente, puede extenderse a una base $ (v, Tv, u_1, dots, u_n) $ de $ V $. Así que defina $ S $ de la siguiente manera: $ Sv = v $, $ S (Tv) = v $ y $ S (u_1) = 0, dots, S (u_n) = 0 $. Entonces, $ Tv = TSv = STv = v $. Por tanto, $ v $ y $ Tv $ son linealmente dependientes, lo cual es una contradicción. Entonces tienes que mostrar singularidad.
En general, cuando uno tiene una condición de la forma “$ A $ es un blah si y solo si por cada $ B $ this happens“, la dirección” si “a menudo se puede establecer seleccionando $ B $ adecuados / inteligentemente elegidos que muestren que todo funciona.
Esta es una situación así.
Sea $ beta = mathbf v _i _ i in I $ una base para $ mathbf V $. Para cada $ i, j en I $, sea $ S_ ij $ el operador lineal en $ mathbf V $ dado por $$ S_ ij ( mathbf v _k) = left {comenzararray ll mathbf v _j & mbox if $ k = i $, \ mathbf v _i & mbox if $ k = j $, \ mathbf 0 & mbox si $ k neq i $ y $ k neq j $. end array right. $$ Es decir: para $ i neq j $, $ S_ ij $ intercambia $ mathbf v _i $ y $ mathbf v _j $, y asigna todos los demás elementos básicos a $ mathbf 0 $. Y $ S_ ii $ asigna $ mathbf v _i $ a sí mismo, y todos los demás elementos básicos a $ mathbf 0 $. Estos son nuestros $ S $ “convenientemente elegidos”.
Ahora considere $ S_ ii T ( mathbf v _j) $ y $ TS_ ii ( mathbf v _j) $ primero para obtener información sobre lo que $ T $ le hace a $ beta $; luego considere $ S_ ij T ( mathbf v _j) $ y $ TS_ ij ( mathbf v _j) $ para $ i neq j $.