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Solución:
Definición.
Sea $nin mathbbZ$ un número entero. $n$ se llama incluso si…
Según la definición, solo los números enteros son pares o impares. No es algo que tengas que probar.
El concepto original de pares e impares se define en números enteros. Sin embargo, uno puede preguntarse: ¿Existe una extensión natural para todos los números reales? Y si es así, ¿cuál sería la paridad o imparidad de los números irracionales?
Ahora bien, ¿qué exigiríamos de tal prórroga? Bueno, la demanda más importante es, por supuesto, que los enteros sean pares bajo la definición extendida si y solo si son pares bajo la definición normal (es decir, también nuestra nueva definición debería darnos, por ejemplo, que $2$ es par y $5 $ es impar).
Por lo tanto, probemos algunas propiedades de los enteros pares/impares:
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Un número es par si se puede escribir como $2x$.
En los números reales, cada el número se puede escribir como $2x$. Por lo tanto, esta definición no funciona.
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Un número es par si es el doble de un entero.
Por supuesto, esto funciona con los números reales (y hace que todos los números no enteros sean impares). Pero parece ser una extensión extraña; ciertamente no es muy útil.
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La suma de dos números pares o impares es par, la suma de un número par y un impar es impar; 1 es impar.
Como $1=frac12+frac12$, $frac12$ no puede ser ni par ni impar. Esta definición probablemente podría funcionar haciendo tres tipos de números: pares, impares o ninguno. Pero hay muchas formas de hacerlo; la más natural sería declarar todos los no enteros como ni pares ni impares; pero ahí es donde empezamos de todos modos. Para números racionales, también funcionaría si un número es par si para la forma cancelada al máximo el numerador es par, e impar si tanto el numerador como el denominador son impares. Pero esa definición no tiene una extensión natural a los números irracionales (excepto, de nuevo, que no son ni pares ni impares).
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Sumar $1$ a un número par da como resultado un número impar y viceversa.
Nuevamente, esto no da una definición única. La definición más natural sería usar una función de redondeo $mathbb Rtomathbb Z$ (como redondeo al más cercano, redondeo al alza, redondeo a la baja o redondeo a cero) y definir $x$ para que sea par si $r( x)$ es par. Sin embargo, ¿qué función de redondeo elegir?
Por lo tanto, allí son maneras de extender par/impar a reales, sin embargo, definitivamente tendrá que renunciar a algunas propiedades de los números pares/impares, y no está claro cuál de los que son posibles debe elegirse, especialmente dado que las definiciones resultantes no son demasiado útil de todos modos. Ninguno de ellos captura realmente el concepto de números pares e impares.
Un enfoque útil para generalizar los números pares e impares a los números irracionales es cuantificar la “cantidad de igualdad” de un número. Veremos que $12$ es “el doble” que $6$. Luego, en lugar de preguntar si un número irracional es par o impar, pregunte cómo incluso lo es.
Primero, comience con la respuesta de Patrick Da Silva a la pregunta vinculada. Explica los conceptos básicos mucho mejor que yo.
¿Aún conmigo? ¡Bien! Ahora el desafío es extender la valoración 2-ádica $nu_2$ de los números racionales a los números reales. De hecho, esto se puede hacer y nos da respuestas simples para algunos números irracionales. Por ejemplo, $nu_2(sqrt 2)=frac12$. En este sentido, podría decir que $sqrt 2$ es “mitad par”, ¡aunque esa no es una terminología estándar!
Lamentablemente, no hay un único extensión de $nu_2$ a todos los números reales. No puedo decirte qué es $nu_2(pi)$, porque depende de la extensión. No obstante, el mero hecho de que una prórroga existe resulta útil. Por ejemplo:
- teorema de monsky. No es posible dividir un cuadrado en un número impar de triángulos de igual área.
Eso suena como un resultado clásico de la geometría griega antigua, ¿verdad? ¡No, se probó en 1970 usando la existencia de una extensión de $nu_2$ a los números reales! La prueba depende de una coloración elaborada del plano que, en esencia, y en términos sencillos, hace lo que quieres: llama a los números irracionales pares o impares.
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