Te traemos la contestación a esta duda, o por lo menos eso pensamos. Si continuas con interrogantes deja tu comentario, que sin dudar
Solución:
Dado $ain G$, $langle arangle$ se define como el subgrupo más pequeño de $G$ que contiene $a$ como elemento. Sin embargo, saber que $langle arangle=langle brangle$ no es suficiente para concluir que $a=b$. Por ejemplo, siempre tenemos $langle arangle=langle a^-1rangle,$ sin importar el orden de $a$.
De hecho, cada elemento de un grupo $G$ genera un subgrupo. Pero los subgrupos generados por diferentes elementos no son necesariamente iguales.
Si $ain G$, $langle a rangle$ es el subgrupo más pequeño que contiene $a$ y es, por definición, un subgrupo cíclico. Sus elementos también forman subgrupos cíclicos de langle a rangle, pero tenga en cuenta que cualquier elemento dado puede estar en varios subgrupos.
Es decir, los subgrupos no necesitan ser disjuntos, de hecho, no pueden serlo, ya que al menos $e$ es un elemento en cada subgrupo, según la definición de un subgrupo. Entonces, un elemento puede estar en más de un subgrupo.
Insinuación
Mire $mathbb Z$ y compare algunos de sus subgrupos: $2mathbb Z$, $4mathbb Z$, $8mathbb Z$, etc. Tenemos $8mathbb Z leq 4mathbb Z leq 2 mathbb Z leq mathbb Z$
Tenga en cuenta, por ejemplo, $2in 2nmathbb Z: n in mathbb N, ngeq 1 leq mathbb Z$. Tenga en cuenta que $8 = 4(2n) in 2nmathbb Z$, pero $8$ también está en $mathbb 4nmathbb Z$ y genera $8nmathbb Z$.
Para un ejemplo finito, mira $mathbb Z_4 = langle 1 rangle = langle 3 rangle$. Mientras que $2 in langle 1 rangle,;; langle 2 rangle neq langle 1 rangle.$ Pero $langle 2 rangle = , 2 leq langle 1 rangle.$ Y claramente, $langle 0 rangle = 0 leq langle 2 rangle leq langle 1 rangle$
Recuerda comunicar este enunciado si te valió la pena.