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Un grupo de orden $n^2$ con $n+1$ subgrupos de orden $n$ con intersección trivial es abeliano

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Solución:

Sean $H,K$ dos distinto subgrupo de orden $n$. Ahora $mid HKmid=fracmid Hmid mid Kmidmid Hcap Kmid=mid Hmid mid Kmid=n^2=mid Gmid Rightarrow G=HK$

Para la normalidad de $H$, tenemos que demostrar que, $gHg^-1=H,forall gin G$. Por el contrario, sea un $gin G$ tal que $gHg^-1ne H$. Como, $mid gHg^-1mid =n$ , de la primera parte obtenemos que $gHg^-1H=G$. Así que hay algo, $h_1,h_2in H $ tal que $g=gh_1g^-1h_2Rightarrow gin HRightarrow H=G$ , lo cual es imposible. Entonces $Htrianglelefteq G$

Ahora sea $H_1,H_2,....,H_n+1$ la lista de todos los n subgrupos ordenados de $G$. Entonces $mid H_1cup H_2cup ....cup H_n+1mid =(n-1)(n+1)+1=n^2Rightarrow G=H_1cup H_2 cup ....cup H_n+1$. Ahora sea $g_1in G$. Entonces, hay un subgrupo $H_i$ de orden n tal que $g_1in H_i.$ Considere cualquier $g_2in H_j, H_ine H_j$. Ahora $g_1g_2g^-1_1g^-1_2in H_icap H_j$, usando la normalidad de $H_i,H_jRightarrow g_1g_2g^-1_1g^-1_2=e_G Rightarrow g_1g_2=g_2g_1$. Entonces $mid C(g_1)mid ge n^2-(n-1)$ . Pero como $nge 2$ $C(g_1)$ obliga a ser $G$. Como $g_1$ se eligió arbitrariamente, podemos decir que $G$ es conmutativo.

Que $G$ es abeliano se puede demostrar mediante el siguiente argumento de conteo. Aparentemente, $G = bigcup_i=1^n+1H_i$, donde $H_i$ son los subgrupos de orden $n$. Sea $x in G$, digamos $x in H_i$ para algún $i$. Entonces, el centralizador de $x$, $C_G(x)$ contiene al menos $n(n-1)+1$ elementos, ya que todos los elementos fuera de $H_i$ conmuta con $x$ (¿Por qué sucede esto? Use el hecho de que, en general, si dos subgrupos normales $H$ y $K$ tienen una intersección trivial, entonces $[H,K] subseteq H cap K=1$, de donde todos los elementos de $H$ conmutan con los de $K$ y viceversa). Por lo tanto, para la clase de conjugación $$|G:C_G(x)|=|Cl_G(x)| leq fracn^2n^2-n+1.$$Pero uno puede demostrar fácilmente que $fracn^2n^2-n+1 lt 2$ para todo $n$. Por lo tanto, $|Cl_G(x)|=1$ para todo $x in G$, lo que equivale a que $G$ sea abeliano.

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