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¿Un grupo de orden $400$ siempre tiene un subgrupo de orden $200$?

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Solución:

hay un grupo $H$ de orden 80 cuyos subgrupos normales tienen órdenes 1,16,80. Tomando $G=mathbbZ_5veces H$ le da un grupo de orden 400 sin subgrupo normal de índice 2.

Para obtener una versión explícita de $H$solo toma el grupo de matrices
$$ left5 right. $$

Ancientmathematician ha respondido a su primera pregunta. Ha pedido un criterio simple para determinar cuándo un grupo de orden par tiene un subgrupo de índice $2$. Uno de esos criterios es que el poder supremo de $2$ que divide $|G|$ es $2^1$como se menciona en los comentarios.

Llamar $n en mathbbN$ un número supersoluble si cada grupo de orden $n$ es supersoluble. Es un teorema estándar que un grupo supersoluble (finito) tiene subgrupos de cada orden posible. En particular, si $G$ es un grupo supersoluble de orden par entonces $G$ tiene un subgrupo (necesariamente normal) de índice $2$.

Un teorema que puede actuar como complemento del "$m=textimpar$criterio es el siguiente. Primero, defina $psi$ ser la función multiplicativa definida en potencias primas como
$psi(p^k) = (p^k-1)(p^k-1-1)puntos(p-1)$.

Teorema: Dejar $n=p_1^a_1p_2^a_2 puntos p_r^a_r$ ser un entero positivo, donde $p_1 < p_2 < puntos < p_r$. Después $n$ es un número supersoluble si y sólo si:

  1. Para todos $1 leq i leq r$los distintos factores primos de $gcd(n,psi(p_i^a_i))$ son los mismos que los de $gcd(n,p_i-1)$.

  2. si existe $i neq k$ tal que $p_i leq a_k$ (es decir, el valor de algún factor primo de $n$ es menor que la multiplicidad de otro), entonces

    (a) No existe un primo $p_j$ tal que $p_i | p_j-1$ y $p_j | p_k-1$y

    (b) $a_i leq 2$y si $a_i = 2$después $p_i^2 | p_k - 1$.

Aplicando este teorema a $n=20$ da de inmediato que $20$ es un número supersoluble, así a fortiori todo grupo de orden $20$ tiene un subgrupo de índice $2$. Nótese aquí que el "$m=textimpar$"el criterio no te dice nada sobre $n=20$. Por otra parte, $n=12$ no es un número supersoluble porque $mcd(12,psi(2^2)) =3$mientras $mcd(12,1) =1$. Por cierto, $A_4$ no es supersoluble y sucede que $A_4$ no tiene subgrupo de índice $2$.

Advertencia: si $n$ no es un número supersoluble, no se sigue que algún grupo de orden $n$ no tiene un subgrupo de algún orden $d mid n$ (mucho menos específicamente $d=fracn2$). El comentario de James proporciona un contraejemplo concreto: cada grupo de orden $224=2^5 cdot 7$ tiene subgrupos de cada orden posible (es decir $224$ es un número lagrangiano), pero hay grupos de orden $224$ que no son supersolubles. No sé si hay algún criterio aritmético útil que garantice que un número $n$ es lagrangiano.

Adicional: Hay otro criterio que puede usar que subsume el "$m=textimpar$uno. Recuerde la definición de $psi$ arriba. Si $G$ es un grupo de orden $n$ y si $gcd(n,psi(2^a))=1$dónde $2^a$ es el mas alto $2$-división de potencia $n$después $G$ es $2$-nilpotente (véase, por ejemplo, el libro de teoría de grupos finitos de Isaacs, Corolario $5.29$). Es fácil ver que un $2$-el grupo nilpotente siempre tendrá un subgrupo de índice $2$.

Permítanme también agregar una caracterización para que un grupo tenga (o no tenga) un subgrupo de índice $2$. Uno puede mostrar lo siguiente:

Un grupo $G$ no tiene indice $2$ subgrupo si y si $G$ se genera por cuadrados, es decir $G = langle lbrace g^2 mid g in Grbrace rangle $.

El grupo $langle lbrace g^2 mid g in Grbrace rangle subset G$ en realidad siempre es un subgrupo normal, pero se puede obtener información adicional si tiene un índice $2$ en $G$:

Un grupo $G$ tiene exactamente un subgrupo de índice $2$ si y si $langle lbrace g^2 mid g in Grbrace rangle $ tiene índice $2$ en $G$.

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