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Un grupo de orden $30$ tiene un subgrupo normal de $5$-Sylow.

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Solución:

Respuestas cortas:

1.- Porque $,P_5le N_G(P_5),$ y $,|N_G(P_5)|=|P_5|,$

2.- El "2do Teorema de Noether" parece ser lo que otros (como yo) llaman uno (el segundo o el tercero, por lo general) de los teoremas de isomorfismo, y la fórmula que quieres usar es precisamente el orden del grupo

$$P_5P_3/P_3cong P_5/(P_5cap P_3)$$

de lo contrario no podrías deducir $,|P_3P_5|=15,$ ...

3.- El grupo $,Bbb Z_15-,$ el grupo cíclico de orden $,15,$ es abeliano, por lo que normaliza trivialmente sus propios subgrupos...(esto significa $,P_5 ,$ es normal en $,P_3P_5,$ )

$o(G) = 30 = 2*3*5$

Dado que el número de $5$ - Los subgrupos de Sylow son de forma, $N_G(5) = 5k +1 $ y $N_G(5) Grande | o(G)$,

$implica N_G(5) = 1$ o $N_G(5) = 6$

Similarmente, $N_G(3) = 1$ o $N_G(3) = 10$.

Primero mostraremos que, $5$ - Subgrupo Sylow o $3$ - El subgrupo de Sylow es normal es $G$.

Si $N_G(5) = 6$ y $N_G(3) = 10$después,

Existen $(6*4 = 24)$ elementos de orden $5$ y $(10*2 = 20)$ elementos de orden $3$.

Entonces un total de $24+20 =44$ elementos. Lo cual es una contradicción.

De este modo, $N_G(5) = 1$ o $N_G(3) = 1$ o ambos.

Si $N_G(5) = 1 $, entonces hemos terminado. Que no,

Tenemos $N_G(3) = 1$ y $N_G(5) = 6$dejar $H_3$ y $H_5$ ser $3$-sylow y $5$-sylow subgrupos respectivamente. Ya que $N_G(3) = 1$, $H_3$ es normal.

Es fácil ver eso $H_3H_5$ es un subgrupo en $G$ y $o(H_3 H_5) = 15$.

Por el argumento utilizado anteriormente, $H_5$ es normal en $H_3 H_5$.

$implica$ Solo hay $4$ elementos de orden $5$ en $H_3H_5$.

Así, el resto $20$ elementos de orden $5$ quedarse en cama $G - H_3H_5$pero $Grande | G- H_3 H_5 Grande | = 15$una contradicción.

Por eso $N_G(5) = 1$

QED

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