Después de observar en diversos repositorios y sitios de internet finalmente dimos con la resolución que te enseñaremos pronto.
Solución:
El siguiente etiquetado, cuya suma es $ 37294 $, mejora el de Aaron Meyerowitz en $ 64 $. También se encontró mediante una búsqueda exhaustiva por computadora, pero con la estrategia de asignar y fijar los primeros cinco primos (en todas las permutaciones posibles) a los bordes que unen los vértices de los pentágonos exterior e interior, y luego examinar las sumas resultantes de asignar los $ 10 ! $ posibles permutaciones de los siguientes diez primos a los $ 10 $ restantes bordes.
Esto de ninguna manera agota todas las posibilidades, pero parece acercarse a la solución óptima.
La figura anterior muestra la asignación inicial de los primeros cinco números primos a los vértices del gráfico.
El valor mínimo es de $ 37294 $ según lo descrito por F. Barrera.
Rompí un poco la simetría identificando $ 9 $ triples de aristas no equivalentes a los que se pueden asignar los números primos $ 41,43,47 $, escribí un programa de satisfacción de restricciones para el problema y luego usé Minion para resolverlo.
(Estoy seguro de que hay formas más eficientes de hacer esto).
Con algunas búsquedas en la computadora puedo obtener una suma de $ 37358 $ y otra de $ 37360. $ Los enumero a continuación. No digo que sean óptimos, aunque parecen bastante buenos.
Las diez etiquetas de vértice deben multiplicarse a $ N ^ 2 $ donde $ N $ es el producto de los primeros $ 15 $ primos. Si se les permitiera ser reales positivos sujetos a este producto, entonces la suma mínima provendría de establecerlos todos en $ N ^ 1/5 approx 3612.1. $ Por lo tanto, 36121 es un límite inferior para la suma mínima posible.
Los dos ejemplos son
PS [4879, 3913, 3182, 2162, 3995, 3441, 2337, 4807, 4147, 4495]= $ $ [ 7cdot17cdot41, 7cdot13cdot43, 2cdot37cdot43, 2cdot23cdot47, 5cdot17cdot47, $ $ 3cdot31cdot37, 3cdot19cdot41,11cdot19cdot23,11cdot13cdot29,5cdot29cdot31]
PS
con suma $ 37358 $
Y $[2337, 2726, 3055, 3182, 3565, 3731, 3999, 4301, 4403, 6061]= $ $[ 3cdot 19cdot 41 , 2cdot 29cdot 47 , 5cdot 13cdot 47 , 2cdot 37cdot 43 , 5cdot 23cdot 31 ,$ $ 7cdot 13cdot 41 , 3cdot 31cdot 43 , 11cdot 17cdot 23 , 7cdot 17cdot 37 , 11 cdot
19cdot 29 ]
PS
con suma $ 37360. $
Estos son mínimos en el cambio de dos etiquetas de borde. comprobar todos los $ 2 binom 15 3 $ conmutadores cíclicos de tres vías antes o después no mejoró nada.
Las siguientes sumas más pequeñas de $ 2000000 $ etiquetas aleatorias seguidas de optimización fueron $ 37438, 37458, 37490, 37494 $
Recuerda que puedes optar por la opción de aclarar si te ayudó.