Solución:
Aquí hay una prueba seguida de conceptual elaboración, de mi publicación Ask an Algebraist del 2008/11/9.
Sea R un dominio integral. Sea principal todo ideal primo en R. Demuestre que R es un dominio ideal principal (PID)
A continuación, presento una forma más sencilla de ver la prueba y algunas referencias. Primero recordemos una prueba bien conocida, presentada por PL Clark (editado):
Prueba$ _ , 1 $$ $ Supongamos que no. Entonces, el conjunto de todos los ideales no fundamentales no está vacío. Dejar $ I_i $ ser una cadena de ideales noprincipales y poner $ , I = taza_i I_i. , $ Si $ I = (x) $ luego $ x en I_i $ para algunos $ i, $ asi que $ I = (x) subconjunto I_i $ implica $ I = I_i $ es principal, contradicción. Así, según el lema de Zorn, hay un ideal $ I $ que es máxima con respecto a la propiedad de no ser principal. Como suele ser el caso de los ideales máximos con respecto a una propiedad u otra, podemos demostrar que debo ser primo. De hecho, suponga que $ ab en I $ pero tampoco $ a $ ni $ b $ yace en yo. Entonces el ideal
$ J = (I, a) $ es estrictamente mayor que $ I, $ entonces principal: di $ J = (c). $$ I: a: = r in R : ra in I $ es un ideal que contiene $ I $ y $ b, $ tan estrictamente más grande que $ I $ y por lo tanto principal: decir $ I: a = (d). $ Dejar $ i en I, $ asi que $ i = uc. $ Ahora $ u (c) subconjunto I $ asi que $ ua in I $ asi que $ u en I: a. $ Así podemos escribir $ u = vd $ y $ i = vcd. $ Esta espectáculos $ I subconjunto (cd). $En cambio,$ d en I: a $ implica $ da in I $ asi que $ d (I, a) = dJ subconjunto I $ asi que $ cd en I. $ Por lo tanto $ I = (cd) $ es principal, contradicción. $ $QED
Mostramos que la segunda parte de la demostración es solo una versión teórica ideal de un hecho bien conocido sobre los números enteros. Es decir, suponga que el entero $ i> 1 $ no es primo. Entonces, por definición, hay enteros $ , a, b , $
tal que $ , i mid ab, , i nmid a, b. , $ Pero esto produce inmediatamente una factorización adecuada de $ , i, , $ a saber $ , i = c , (i !: ! c), $ dónde $ c = (i, a). , $ Por eso: $ $ no primo $ Flecha derecha $ reducible (o: irreducible $ Flecha derecha $ principal). $ $
Un similar constructivo La prueba funciona de manera mucho más general, a saber
Lema$ $ Si es ideal $ I ne 1 $ satisface: ideal $ , J supset I Rightarrow J , | , I , $ luego $ I $ no primo $ Flecha derecha I , $ reducibleadecuadamente).
Prueba$ $$ I $ no primo $ Flecha derecha $ existe $ , a, b no en I , $ y $ , ab en I. $$ A: = (I, a) supset I Rightarrow A mid I, , $ decir $ , I = AB; $ wlog podemos asumir $ , b en B , $
ya que $ A (B, b) = AB , $ vía $ Ab = (I, a) b subconjunto I = AB. $ Los factores $ A, B $
están adecuado:$ A = (I, a), , a not in I; , B supset (I, b), , b not in I. quad $QED
Tenga en cuenta que contiene $ Flecha derecha $ divide la hipótesis: $ J supset I Rightarrow J , | , I , $
es trivialmente true por los principales ideales $ J $ (de ahí la prueba$ _ , 1 $), y también contiene true para todos los ideales en un dominio de Dedekind. Generalmente tales ideales J se denominan ideales de multiplicación.
Los anillos cuyos ideales satisfacen esta propiedad se conocen como
anillos de multiplicación y su estudio se remonta a Krull.
El problema del OP es bien conocido: es Ejercicio $ 1 ! – ! 1 ! – ! 10 p.8 $
en Kaplansky: Anillos conmutativos, a saber:
- (M. Isaacs) En un anillo R deja $ I $ ser máximo entre los ideales no principales. Pruebalo $ I $ es primordial. (Sugerencia: adapte la demostración del teorema 7. Tenemos $ (I, a) = (c). $ Esta vez toma $ J = $ todos $ x $ con $ xc en I. $ Ya que
$ J supset (I, b), J $ es principal. Argumenta eso $ I = Jc $ y también el principal.)
Para generalizaciones de tales argumentos de Zorn Lemma al estilo de Kaplansky, consulte los artículos a los que se hace referencia en mi publicación aquí.
A continuación se muestra una referencia interesante sobre los anillos de multiplicación.
Mott, Joe Leonard. Condiciones equivalentes para que un anillo sea un anillo de multiplicación.
Canad. J. Math. 16 1964 429–434. MR 29: 119 13,20 (16,00)
Si “anillo” se entiende como un anillo conmutativo con identidad y un anillo de multiplicación es un “anillo” en el que, cuando A y B son ideales con A $ subconjunto $ B, hay un C ideal tal que A = BC, entonces se muestra que los siguientes enunciados son equivalentes.
- (I) R es un anillo de multiplicación;
- (II) si P es un ideal primo de R que contiene el ideal A, entonces hay un ideal C tal que A = PC;
- (III) R es un anillo en el que son válidas las siguientes tres condiciones:
$ qquad $ (a) todo ideal es igual a la intersección de sus componentes primarios aislados;
$ qquad $ (b) todo ideal primario es un poder de su radical;
$ qquad $ (c) si P es un primo mínimo de B yn es el número entero menos positivo tal que $ rm P ^ n $ es un componente primario aislado de B, y si
$ rm P ^ n ne P ^ n + 1, $ entonces P no contiene la intersección de los componentes primarios aislados restantes de B. (Aquí, un componente P-primario aislado de A es la intersección de todos los ideales P-primarios que contienen A).
Revisado por HT Muhly
Hacemos esto en unos pocos pasos. Sea $ R $ nuestro dominio integral y suponemos que todo ideal primo en $ R $ es principal.
-
Sea $ S $ el conjunto de ideales no principales de $ R $ y suponga que $ S $ no está vacío. Lanza un pedido parcial de inclusión en $ S $ (o ten en cuenta que tiene uno, pero a veces me gusta ser físico con mis matemáticas). ESCRIBA este orden parcial, sea $ C_i $ una cadena en $ S $, y sea $ C = cup C_i $. Entonces sabemos que $ C $ es un ideal.
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Demuestre que $ C $ no es principal:
Suponga que $ C $ es el principal, de modo que $ C = langle c rangle $. Entonces $ c en C_j $ para unos $ j $, de modo que $ C subseteq C_j $. Entonces $ C_j $ es el principal, lo que contradice nuestra hipótesis. -
Apelar a Zorn para obtener un ideal no principal de inclusión máxima:
Como $ C $ no es el principal, la cadena $ C_i $ tiene un límite superior en $ S $. Según el lema de Zorn, $ S $ contiene un elemento máximo. Sea $ M $ uno de esos elementos. -
Sea $ a, b en R $ st $ ab en M $ mientras que $ a, b no en M $, que existen porque $ M en A $ y por lo tanto no es primo. Como $ a not in M $, tenemos ese $ M subsetneq (M, a) $, $ M subsetneq (M, b) $. Como $ M $ es máximo en términos de no principado, sabemos que tanto $ (M, a) $ como $ (M, b) $ son principales. Suponga que $ (M, a) = langle alpha rangle, (M, b) = langle beta rangle $.
Sea $ N = r en R ; $. Tenga en cuenta que $ (M, a) (M, b) = (M ^ 2, Ma, Mb, ab) subseteq M $, de modo que $ (M, b) subseteq N $. Y además, $ (M, a) N subseteq M $, y $ (M, a) N $ es principal.
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Si $ x en M $, mostraremos que $ x = s alpha $ para algunos $ s en N $, y concluiremos que $ M = (M, a) N $ es principal – una contraxicidad:
Sea $ x en M $. Desde $ M subconjunto (M, a) $, sabemos que $ x = s alpha $ para algunos $ s en R $. Tenga en cuenta que, de hecho, $ s (M, a) = s langle alpha rangle subseteq M $, entonces $ s in N $. Por tanto, $ M subseteq (M, a) N $ y, lo que es más importante, $ M $ es el principal.Esto es una contradicción en el no principado de $ M $, por lo que nos equivocamos al suponer que $ S $ no está vacío.
Por tanto, $ R $ no tiene ideales no principales y es un dominio ideal principal.
Esto se puede comprobar con la maquinaria de Lam y Reyes. Principio ideal primordial (disponible aquí). Un bello artículo que recomiendo encarecidamente a todo aquél interesado en este tipo de argumentos. Dado un $ I $ ideal y un elemento $ a en R $, defina $ I: a = x in R mid xa in I $. Tenga en cuenta que este es un ideal.
Definición. Una clase de ideales $ mathcal F $ de $ R $ con $ R in mathcal F $ es una Familia Oka si para $ a en R $ y $ I triangleleft R $, si tanto $ (I, a) $ como $ I colon a $ están en $ mathcal F $, entonces $ I $ está en $ mathcal F $.
Definición. Sea $ mathcal F $ una clase de ideales de $ R $. Decimos que $ mathcal F $ es una familia MP (“Máximo es primo”) si los elementos máximos de $ mathcal F $ son ideales primos de $ R $.
Definición. Sea $ mathcal F $ una clase de ideales de $ R $. Entonces $ mathcal F ‘$ es el complemento de $ mathcal F $ en la clase de todos los ideales de $ R $.
Teorema. (Lam y Reyes) Si $ mathcal F $ es una familia Oka, entonces $ mathcal F ‘$ es una familia MP.
Prueba. Sea $ I $ un elemento máximo de $ mathcal F ‘$ y suponga que $ I $ no es primo. Como $ I neq R $ (como $ R en mathcal F $ por definición), sea $ a, b en R $ tal que $ a, b notin I $, tal que $ ab en I PS Entonces $ (I, a) $ es estrictamente mayor que $ I $, por lo tanto en $ mathcal F $; y desde $ ba en I $, entonces $ b en I: a $, por lo tanto $ I: a $ también contiene correctamente $ I $. Por lo tanto, $ (I, a) $ y $ (I: a) $ ambos se encuentran en $ mathcal F $. Por lo tanto, dado que $ mathcal F $ es una familia Oka, se deduce que $ I in mathcal F $, lo que contradice que $ I in mathcal F ‘$. $ Caja $
Teorema. Sea $ R $ un anillo conmutativo con unidad y suponga que $ R $ tiene al menos un ideal no principal. Si $ I $ es un ideal que es máximo con respecto a la propiedad de no ser principal (es decir, si $ I subsetneq J $ y $ J $ es un ideal, entonces $ J $ es principal), entonces $ I $ es un ideal primordial.
Prueba. Demostramos que el conjunto de ideales principales es una familia Oka. Claramente contiene $ R $. Suponga que $ (I, a) $ y $ I: a $ son principales. Sea $ (I, a) = (x) $ y $ I: a = (y) $.
Afirmo que $ I = (xy) $. De hecho, primero observe que $ (xy) subseteq I $: $ (x) = I + (a) $ entonces $ (xy) = (x) (y) = (I + (a)) (y) = Iy + ( ay) subseteq I + I = I $, entonces $ (xy) subseteq I $. Por el contrario, si $ r en I $, entonces $ r = xt $ para algunos $ t $; como $ a = xv $ para algunos $ v $, tenemos $ vr = vxt = en in I $, entonces $ t in I: a = (y) $, por lo tanto $ t = yz $ para algunos $ z $ , entonces $ r = xt = xyz in (xy) $. Por tanto, $ I = (xy) $.
Por lo tanto, la colección de ideales principales es una familia Oka. En particular, la colección de ideales no fundamentales es una familia MP. Pero dado que todo ideal primo es principal, se deduce que la colección de ideales no principales está vacía, por lo que todo ideal de $ R $ es principal. $ Caja $