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Solución:
Puedes ver esto como un proceso limitante. Comienza con la integral truncada: $$ frac12piint_R^Re^jomega tdt = frac1pifrac sin(Romega)omega $$ Si integras esto con una función y tomas el límite como $Rrightarrowinfty$, entonces $$ lim_Rrightarrowinftyint_- infty^inftyf(omega)frac12piint_-R^Re^jomega tdt domega = lim_R flecha derechainftyfrac12piint_-R^Rint_-infty^inftyf(omega)e^jomega td omega dt. $$ Lo anterior es $(f^wedge)^vee(0)=f(0)$ si $f$ tiene algo de suavidad en $0$.
Sin ningún procedimiento limitante, puede usar la definición de la transformada distribucional de Fourier, que se define por
$$langle mathcalF(d),mathcalF(f) rangle = langle d,f rangle$$
para $d in mathcalS’,f in mathcalS$. Aquí $mathcalS$ es el espacio de las funciones de Schwartz (funciones suaves cuyas derivadas decaen más rápido que cualquier función racional en el infinito) y $mathcalS’$ es su espacio dual, el espacio de “distribuciones temperadas “. La igualdad anterior dice que la transformada de Fourier es unitario con respecto al emparejamiento dual entre distribuciones temperadas y funciones de Schwartz. Esta es una propiedad bastante natural, dado que la transformada de Fourier es naturalmente unitaria con respecto al producto interno $L^2$, y el producto interno $L^2$ es una restricción de este emparejamiento dual a $L^2 times L^2 subconjunto mathcalS’ times mathcalS$.
Reemplazando $f$ con $mathcalF^-1(f)$ obtienes
$$langle mathcalF(d),f rangle = langle d,mathcalF^-1(f) rangle.$$
Puede hacer lo mismo para la transformada inversa de Fourier de una distribución, en cuyo caso obtiene
$$langle mathcalF^-1(d),f rangle = langle d,mathcalF(f) rangle.$$
Dado que $langle delta,f rangle = f(0)$ (esta es la definición de $delta$), la transformada unitaria inversa de Fourier de la delta de Dirac es una distribución que, dada una función $f$, evalúa la transformada de Fourier de $f$ en cero. En otras palabras, $langle mathcalF^-1(delta),f rangle = frac1sqrt2 pi int_-infty^infty f(x) dx$. En términos algo generales, esto significa que la transformada de Fourier inversa unitaria del delta de Dirac es la función constante $frac1sqrt2 pi$.
Tenga en cuenta que todo esto está bajo la normalización unitaria de la transformada de Fourier. Bajo otras normalizaciones, los factores $2 pi$ terminan en diferentes lugares. También tenga en cuenta que esto se puede ampliar un poco mediante un argumento de densidad/continuidad (de modo que el dominio de $mathcalF^-1(delta)$ es mayor que $mathcalS$).
Editar: me doy cuenta de que el cálculo real que hice no es lo que se pidió; usted pidió un cálculo de la transformada inversa de Fourier de $1$. Pero la configuración es la misma, así que te dejaré esa tarea a ti.
Realmente no puedes calcular esa integral analíticamente, ya que la función delta no es realmente una “función”, y la integral no está realmente bien definida como la escribiste. Lo que PUEDE hacer es probar que cuando se integra contra una función de prueba, la integral se comporta como una función delta.
Así que vamos a probarlo. Queremos $intdelta(t)f(t)dt = f(0)$ para cualquier función $f$. Sabemos, por su ecuación dos, que queremos
$$intdelta(t)f(t)dt =intint f(t)e^jomega t dt domega$$ Ahora notamos que hacer la integral t simplemente nos da la transformada de Fourier de f: $$=int tildef(-omega) domega$$ Finalmente, notamos que esta integral final es solo la transformada inversa de Fourier de $f$, centrada en $t=0 $: $$=int tildef(-omega)e^j(-omega)0 domega=f(0)$$ Por lo tanto, la integral que escribiste arriba se comporta como nosotros quiere que se comporte una función $delta$. ¡Espero que ayude!