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Solución:
Hasta un factor de $2pi$, la transformación de Fourier puede verse como una expansión en términos de $e^iomega t$. Claramente, para $e^iomega_0 t$ solo hay un componente en la expansión. En una expansión discreta esto significaría que tenemos un delta de Kronecker $delta_omega_0^omega$ como componente. Pero debido a que estamos haciendo una transformación continua, esto se convierte en el delta de Dirac. Esta función (generalizada) filtrará ese único componente $e^iomega_0 t$.
Simplemente aplique la transformación de Fourier a $e^iomega_0t$:
$$beginalign* X(omega) &= int_-infty^infty e^iomega_0t e^-iomega t dt\ &= int_ -infty^infty e^-i(omega-omega_0)t dt\ &= 2pidelta(omega – omega_0) endalign*$$
Compáralo con la transformada de Fourier de la función constante: (no se proporciona prueba)
$$ 2pidelta(omega) = int_-infty^infty 1cdot e^-iomega t dt$$
En general, la transformada de Fourier de una señal de tiempo continua $x(t)$ es dado por:
$$beginalign* X(omega) &= int_-infty^infty x(t) e^-iomega t dt endalign*$$
Pero, tenga en cuenta que la señal $x(t)$ debe ser absolutamente integrable en todo momento, es decir,
$$beginalign* int_-infty^infty |x(t)| dt espacio < espacio infty endalign*$$
La función $e^iomega_0 t$ sin embargo, no es absolutamente integrable y la transformada de Fourier no converge:
$$beginalign* int_-infty^infty |e^iomega_0 t| dt space = space int_-infty^infty 1. dt space= space infty endalign*$$
Sin embargo, para encontrar la transformada de Fourier (FT) de la función anterior, podemos usar la propiedad de dualidad de FT, es decir,
$$beginalign* si espacio espacio &Fx(t) espacio espacio = espacio espacio X(omega), espacio entonces\ & FX(t) espacio = espacio 2pi x(-omega) endalign*$$
Ahora, considere la función delta de Dirac (en realidad no es una función), $delta(t)$.
$$beginalign* &F\delta(t) space space = space space 1, space then\ & F1 space = space 2pi delta(-omega) espacio = 2pidelta(omega) espacio espacio espacio (1) endalign*$$
Bien, hasta ahora todo bien. La dualidad por sí sola no obtendrá el resultado deseado. Ahora usamos la propiedad de modulación de FT
$$beginalign* si espacio espacio &Fx(t) espacio espacio = espacio espacio X(omega), espacio entonces\ & Fx(t) .e^iomega_0t espacio = espacio X(omega-omega_0) endalign*$$
Por lo tanto, de la ecuación (1),
$$beginalign* & F1.e^iomega_0t space = space Fe^iomega_0t space = space 2pidelta (omega-omega_0) endalign*$$
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