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Usando representación integral: $$ J_0(x) = frac12 pi int_-pi^pi mathrme^ix sin tau mathrmd tau $$ Por lo tanto, la transformada de Fourier: $$ begineqnarray mathcalF_x(J_0(x))(omega) &=& int_-infty^infty J_0(x) mathrm e^i omega x mathrmd x \ &=& frac12 pi int_-pi^pi mathrmd tau , mathcalF_x(mathrme^ix sin tau)(omega) \ &=& frac12pi int_-pi^pi mathrmd tau , left( 2 pi right) deltaleft( omega + sin(tau) right) \ &=& int_-pi^pi mathbf1_-1 le omega le 1 deltaleft( omega + sin(tau) right) ,, mathrmd tau \ &=& int_-pi^pi mathbf1_-1 le omega le 1 frac1vert cos(tau) vert left( delta izquierda( arcsin omega + tau right) + deltaleft( arcsin omega – operatornamesigno(omega) pi + tau right) right),, mathrm d tau \ &=& mathbf1_-1 le omega le 1 frac2sqrt1-omega^2 endeqnarray $$
Aunque esta pregunta fue formulada y respondida hace bastante tiempo, pensé que podría ser útil ver un desarrollo alternativo, uno que use solo análisis clásico y renuncie al uso de funciones generalizadas.
Aquí, encontraremos la Transformada de Fourier de $J_0(x)$ primero encontrando la representación de la Transformada de Fourier de $J_0(x)$ y luego invocando el Teorema de Inversión de Fourier.
Empezamos, como empezó @Sasha, con la representación integral
$$beginalign J_0(x)&=frac12piint_-pi^pie^ixsin phi,dphi \ &=frac1piint_0^picos (xsen phi),dphi tag 1 endalign$$
donde explotamos el hecho de que la parte real del integrando es una función par de $k$ mientras que la parte imaginaria es impar. Haciendo las sustituciones
$$phi= begincasos arcsin (k),&textpara,,0lephilepi/2\\ pi-arcsin (k), &textpara,,pi/2lephilepi endcasos$$
en $(1)$ rendimientos
$$beginalign J_0(x)&=frac2piint_0^1frac1sqrt1-k^2cos ( kx),dk tag 2\\ &=frac1piint_-1^1frac1sqrt1-k^2 cos (kx),dk tag 3\\ &=frac1piint_-1^1frac1sqrt1-k^2 e^ikx,dk tag 4\\ &=frac12piint_-1^1frac2sqrt1-k ^2e^ikx,dk tag 5\\ &=frac12piint_-infty^inftyleft(textrect left(frack2right)frac2sqrt1-k^2right)e^ikx,dk tag 6\\ finalinear$$
donde $textrect$ es la función rectangular. Finalmente, usando el Teorema de la Inversión de Fourier, tenemos
$$bcaja[5px,border:2px solid #C0A000]mathscrFleft(J_0(x)right)(k)=textrectleft(frack2right)frac2sqrt1- k^2$$
recuperando el resultado conocido.
NOTAS:
Al llegar a $(2)$, escribimos $int_0^picos (xsin(phi)),dphi=int_0^pi/2 cos (xsin(phi)),dphi+int_pi/2^picos (xsin(phi)),dphi$, hizo cumplir el sustituciones y combinó las integrales resultantes.
Al pasar de $(2)$ a $(3)$, explotamos la propiedad par del coseno.
Al pasar de $(3)$ a $(4)$, explotamos la extraña propiedad del seno.
Al pasar de $(4)$ a $(5)$, colocamos un factor de $1/2$ fuera de la integral y un factor de $2$ en el integrando.
Al pasar de $(5)$ a $(6)$, multiplicamos el integrando por la función del rectángulo y ampliamos los límites.
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