Solución:
Sea $ f: mathbb {R} to mathbb {R} $ una función integrable y $ hat {f} $ denote su transformada de Fourier, es decir, $$ hat {f} ( xi) = int_ mathbb {R} e ^ {ix xi} f (x) dx. $$ Tenemos $$ overline { hat {f} ( xi)} = hat {f} (- xi) = int_ mathbb {R} e ^ {- ix xi} f (x) dx = int_ mathbb {R} e ^ {iy xi} f (-y) dy. $$ Si $ f $ es par entonces $$ overline { hat {f} ( xi)} = hat {f} (- xi) = int_ mathbb {R} e ^ {iy xi} f (y) dy = hat {f} ( xi), $$ ie $ hat {f} $ es una función de valor real par.
Si $ f $ es impar, entonces $$ overline { hat {f} ( xi)} = hat {f} (- xi) = int_ mathbb {R} -e ^ {iy xi} f (y) dy = – hat {f} ( xi), $$ ie $ hat {f} $ es una función puramente imaginaria impar.
Defina $ F (p) = int _ {- L} ^ {L} f (x) e ^ {ipx} dx $. Tenga en cuenta que: (deje $ u = -x $ entonces $ x = -u $ y $ dx = -du $ etc.)
$$ F (-p) = int _ {- L} ^ {L} f (x) e ^ {- ipx} dx = int_ {L} ^ {- L} f (-u) e ^ {ipu} (-du) = int _ {- L} ^ {L} f (-u) e ^ {ipu} du $$
Claramente $ f (-x) = pm f (x) $ implica $ F (-p) = pm F (p) $.
Ahora pasamos a la parte de la realidad de la afirmación. Recuerde $ e ^ {ipx} = cos px + i sin px $. Además, la observación del seno es una función impar, mientras que el coseno es una función par. Sabemos por cálculo elemental que la integral de una función impar en $[-L,L]$ desaparece.
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Cuando $ f $ es par, $ f (x) cos (px) $ es par y $ f (x) sin (px) $ es impar. De ello se deduce que la parte imaginaria de la transformada de Fourier desaparece. En consecuencia, $ F (p) $ es real.
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Cuando $ f $ es impar, $ f (x) cos (px) $ es impar y $ f (x) sin (px) $ es par. De ello se deduce que la parte real de la transformada de Fourier desaparece. En consecuencia, $ F (p) $ es imaginario.