Solución:
La transformada de Fourier definida por una integral ordinaria (de Riemann o) de Lebesgue solo existe cuando $ f en L ^ 1 $.
Sin embargo, es posible extender la definición a distribuciones templadas (por ejemplo, cada función integrable localmente que “no crece demasiado rápido” puede identificarse con una distribución templada). Sin embargo, la transformada de Fourier de tal cosa no es en general una función, como lo demuestra su ejemplo.
Creo que sería bueno pensar en el dirac como el límite de una función conocida. Por ejemplo, cuando tomamos una densidad gaussiana de media cero $ f (x; 0, sigma) $ con varianza $ sigma ^ 2 $, sabemos que cuando $ lim _ { sigma rightarrow 0} f (x; 0, sigma) = delta (x) $. Este es un tipo de definición de la función delta de dirac.
Cuando tomamos la transformada de Fourier de esta función $$ int _ {- infty} ^ { infty} f (x) e ^ {itx} mbox {d} x = e ^ {i mu t} e ^ { – frac {1} {2} ( sigma t) ^ 2} $$ y cuando $ sigma rightarrow infty $ tenemos $$ | e ^ {i mu t} e ^ {- frac {1 } {2} ( sigma t) ^ 2} | rightarrow 1 $$
Otra forma sería tomar una función rectangular en $[-t,t]$ en el dominio de frecuencia $ t $ y sea $ t rightarrow infty $. En ese momento, el dominio $ x $ uno obtendría un sinc funcionan con un solo lóbulo principal. El número de cruces por cero aumentará, la potencia de los lóbulos laterales disminuirá y eventualmente irá a cero, lo que quedará será una función delta de dirac.
Matemáticamente, si no se satisface la sumabilidad absoluta, también obtenemos algo que está extrañamente definido; algo que tiene un poder infinito en la frecuencia $ t = 0 $, de la regla de preservación de energía de Perseval.