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Solución:
Es un malentendido bastante común que $xH=Hx$ significa que $xh=hx$ para cualquier $hin H$. esto es generalmente false.
La afirmación $xH=Hx$ significa que
- por cada $hin H$, existe $h_1in H$ con $xh=h_1x$
- por cada $hin H$, existe $h_2in H$ con $hx=xh_2$
Considere el grupo $G=S_4$ y su subgrupo normal $H=A_4$ (las permutaciones pares). Desde $[S_4:A_4]=2$, el subgrupo $A_4$ es normal. Sin embargo, tomando $x=(12)$ y $h=(123)$, tenemos $$ (12)(123)=(23)ne(123)(12)=(13) $$ Sin embargo, $ (132)(12)=(23)$, entonces en este caso $h_1=(132)ne h$.
También podemos encontrar dos elementos en $A_4$ que no conmutan: $$ (123)(124)=(13)(24) \ (124)(123)=(14)(23) $$
Nota: la convención sobre la composición de funciones es la funcional estándar, es decir, a la izquierda (piense en $circ$ entre dos ciclos).
No. $G$ es un subgrupo normal de sí mismo para cualquier grupo $G$. La conmutatividad es una propiedad local de un grupo (hasta los elementos), mientras que la normalidad es más una propiedad de escala media de un grupo (colecciones de elementos, pero no necesariamente el grupo completo). El hecho de que permute los elementos de la misma manera si multiplica a la izquierda y a la derecha (en lo que respecta a la normalidad) no significa que sea abeliano.
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