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¿Todos los polinomios reales se pueden factorizar en factores cuadráticos y lineales?

Este dilema se puede resolver de variadas maneras, sin embargo te enseñamos la que en nuestra opinión es la solución más completa.

Solución:

Sí, eso es true. En particular, tenemos que usar un teorema llamado Teorema Fundamental del Álgebra que establece lo siguiente:

Cualquier polinomio de grado $n$ con coeficientes complejos es el producto de $n$ factores lineales.

Por ejemplo, $ax^2+bx+c$ siempre se puede escribir como $a(x-k_1)(x-k_2)$ para $k_1$ y $k_2$ potencialmente complejos.

Entonces, necesitamos otra pieza de maquinaria para aplicar este teorema a los números reales. En particular, necesitamos saber sobre el conjugado complejo definido de la siguiente manera: $$overlinex+iy=x-iy.$$ Puedes comprobar que $overlineacdotoverlineb= overlineab$ y $overlinea+overlineb=overlinea+b$. Básicamente, esto refleja el plano complejo sobre el eje real y, al hacerlo, preserva la multiplicación y la suma. Sin embargo, para cualquier número real $overlinex=x$. Podemos usar esto de la siguiente manera:

Supongamos que $f(x)=a_nx^n+a_n-1x^n-1+ldots a_1x + a_0$ es un polinomio con coeficiente de valor real. Entonces, podemos calcular, para cualquier número complejo $z$ que: $$overlinef(z)=f(overline z)$$ lo cual se demuestra porque, por ejemplo, $overlinea_n z^n =overlinea_n cdot overlinez^n=a_n overlinez,! ^n$ ya que $a_n$ es real. En particular, esto significa que supongamos que $a+bi$ es una raíz de $f$. Entonces, $a-bi$ debe ser una raíz de $f$, es decir, las raíces complejas vienen en los llamados “pares conjugados”.

Podemos explotar esto de la siguiente manera: Un polinomio $f(x)$ es el producto de su coeficiente principal, $a_n$, y de los términos $(x-z_i)$ donde $z_i$ es una secuencia que indexa sus raíces . Ahora, si $z_i$ es real, entonces estamos bien, porque es un factor lineal. Los factores cuadráticos surgen porque, en vez de escribir, para una raíz compleja $a+bi$ y su conjugado $a-bi$ el producto $(xa-bi)(x-a+bi)$, involucrando términos complejos, podemos multiplica la expresión para recibir $(x^2 – 2ax + a^2 + b^2)$ que es una cuadrática en $x$ con coeficientes reales. Al hacer esto con todos los factores, vemos que el polinomio se puede escribir como un producto de factores lineales y cuadráticos.

En general, cualquier polinomio de grado $n$ tiene una factorización en factores complejos lineales. Esta es una consecuencia del teorema fundamental del álgebra.

Si $p(x)$ es un polinomio real con factor $xw$ para el complejo $w$, entonces $x-bar w$ también es un factor (porque $p(bar w)=overlinep(w ) = 0$.) Cuando $w$ no es real ($wneq bar w$) entonces sabemos que $(xw)(x-bar w) = x^2 -(w+bar w) x+wbar w$ es un factor de $p(x)$, y $w+bar w$ y $wbar w$ son reales.

Entonces, por inducción, siempre podemos factorizar $p$ como un producto de polinomios lineales y cuadráticos.

Es true porque el cierre algebraico de $Bbb R$ es $Bbb C$ que es una extensión de campo de grado 2.

Cualquier polinomio irreducible $p$ crearía una extensión de campo finito de $Bbb R$, a saber, $Bbb R[x]/(p)$. Pero esto significa que el grado de $p$ divide a 2.

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