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Solución:
Todo número natural es un número finito. Todo número primo (en la definición habitual) es un número natural. Por tanto, todo número primo es finito. Esto no contradice el hecho de que hay infinitos números primos, al igual que el hecho de que todo número natural sea finito no contradice el hecho de que hay infinitos números naturales. Puedes tener infinitas cosas finitas, y nunca habrá un ejemplo más grande.
Para hacer las cosas un poco más complicadas (y mucho más interesantes), existen extensiones del conjunto de números naturales que contienen números infinitos, e incluso números primos infinitos. Por ejemplo, en cualquier extensión hiperreal de los reales, existe un sistema de números hipernaturales. Algunos de estos números hipernaturales son finitos y otros infinitos. Los finitos son solo una copia del conjunto habitual de números naturales y los números primos en él son los números primos habituales. Para los números hipernaturales infinitos, también hay números primos. Por ejemplo, lo hipernatural representado por la secuencia $ (2,3,5,7,11,13,17,19, cdots) $ es un número primo infinito.
Un número primo es un elemento del conjunto de todos los números primos y, como elemento de ese conjunto, un número primo no tiene cardinalidad.
El colocar de todos los números primos es numerablemente infinito (en cardinalidad, igual a $ | mathbb N | $): hay (adverbio) infinitamente muchos números primos.
Eso no quiere decir que haya un primo que sea infinito. Pero tienes razón en que “el infinito no es un número” aquí. El conjunto es “infinito” significa que no importa cuán grande sea el número primo que nombre, todavía hay un primo mayor que ese … y después de eso, un primo mayor, y así sucesivamente. No hay un punto final al que llegues el número primo más grande.
Está true ese conjunto de todos los números primos Menos que o igual a algún entero positivo $ n $ es finito. Pero entonces hay infinitos más primos mayores que $ n $, cualquiera que sea el $ n $ particular que elija.
¿Todos los números primos son finitos?
Si.
Si respondemos false, entonces debe haber un número primo infinito.
Eso sigue … pero no “respondimos false”, para que no tengamos que preocuparnos por eso.
Pero el infinito no es un número y tenemos una contradicción.
Sea o no infinito un número, hay números infinitos (o “transfinitos”). E incluso si no lo hubiera, esto todavía no sería una contradicción, como tampoco lo es “No todos los caballos son feos” es una contradicción solo porque la belleza no es un animal. No se trata de lógica o matemáticas, se trata de un mal uso del idioma inglés. En cualquier caso, no “respondimos false”, por lo que no tenemos que preocuparnos por esta supuesta contradicción.
Si respondemos true, entonces debe haber un número primo mayor.
No, eso no sigue en absoluto. Todos los números primos son finitos, pero no hay uno mayor, al igual que no hay un entero mayor, ni siquiera un entero, etc. El hecho de que haya infinitos de algo no requiere que ninguno de ellos sea infinito, o infinito, o el mayor.
Considere, por ejemplo, los reales no negativos menores que 1: [0, 1). Por supuesto, hay infinitos de ellos, pero todos son finitos (menos de 1, de hecho), y no hay uno más grande. (Prueba: supongamos que hubiera uno más grande, L.Entonces (L + 1) / 2, que está a medio camino entre L y 1, también estaría en el conjunto pero sería más grande que L. Eso realmente es una contradicción.)
Pero Euclides demostró lo contrario y nuevamente tenemos una contradicción.
Lo hizo, pero no hay contradicción.
Entonces, ¿el conjunto de todos los números primos contiene todos los elementos finitos sin el elemento mayor?
Si.
¿Cómo es eso posible?
No hay ninguna razón para que sea imposible, y Euclides demostró que no solo es posible, sino true. Parece haberlo asumido como imposible para llegar a la conclusión de una contradicción, que es un argumento circular.