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Solución:
¡Espera, en realidad es bastante simple!
Supongamos que tenemos un número $l$. Suponer que $l=pq$con $p,q$ teniendo la misma paridad. Es decir, ambos $p$ y $q$ son pares, o ambos $p$ y $q$ son raros
Si este es el caso, considere $a= fracp+q2, b= fracpq2$. Entonces, tenga en cuenta que $a^2 – b^2 = pq = l$!
Por ejemplo, $183 = 61 veces 3$asi que $a=32$ y $b = 29$y $32^2-29^2 = 1024 – 841 = 183$.
Ahora, ¿cuándo puede $l$ estar escrito en esta forma? al menos cuando $l$ es impar, porque entonces puedes dividirlo en dos factores impares (incluso si uno de esos factores es $1$ : por ejemplo $7=7 times 1 = 4^2-3^2$) y lleve a cabo el procedimiento anterior.
Finalmente, dado un número par, simplemente reste (¡o sume!) $1^2=1$ para convertirlo en un número impar, que se puede expresar como una diferencia de cuadrados.
Por ejemplo: dado $39$podemos escribir $39=13 x 3 = 8^2 – 5^2$. Dado $78$podemos escribir $78 = 77 + 1 = 11 times 7 +1 = 9^2-2^2+1^2$.
¿A qué se debe tanta flexibilidad? Simple : $(a^2-b^2)$ tiene una factorización no trivial, mientras que $a^2+b^2$ no es. Esto es lo que hace que toda la teoría aditiva de los cuadrados (y el problema de Waring) sea tan interesante y difícil.
$2n+1=(n+1)^2-n^2+0^2$ y $2n=(n+1)^2-n^2-1^2$ cubren los casos pares e impares respectivamente.
Sugerencia: demuestre que cada $n$ que no tiene la forma $4k+2$ se puede escribir en la forma $a^2-b^2+0^2$ para algunos $a$ y $b$. Entonces $4k+2$ se puede escribir en la forma $a^2-b^2-1^2$ para algunos $a$ y $b$.
(Gracias a John Bentin por señalar el error tonto en mi publicación original).
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