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Solución:
Sí, y sí, tienes razón.
La existencia de un vector cero es, de hecho, parte de la definición de lo que es un espacio vectorial.
Todo espacio vectorial y, por lo tanto, todo subespacio de un espacio vectorial contiene el vector cero (por definición) y, por lo tanto, todo subespacio tiene al menos un subespacio:
El subespacio que contiene solo el vector cero vacuamente satisface todas las propiedades requeridas de un subespacio. Se cierra bajo la suma de vectores (consigo mismo), y se cierra bajo la multiplicación escalar: cualquier escalar por el vector cero es el vector cero.
Todo espacio vectorial también se contiene a sí mismo y es su propio subespacio.
Excepto en una situación muy especial (¿cuál?) se deduce de esto que casi todo espacio vectorial tiene dos subespacios.
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