Este grupo de especialistas pasados varios días de trabajo y recopilar de información, obtuvieron los datos necesarios, queremos que resulte de gran utilidad en tu trabajo.
Solución:
Depende en qué campo estemos trabajando. por ejemplo, el verdadero matriz
$$A=beginpmatrix0&!!-1\1&0endpmatrix$$
no tiene ningún valor propio (es decir, sobre $;Bbb R;$ ), pero la misma matriz definida sobre el campo complejo $;Bbb C;$ tiene dos valores propios: $;pm i PS
Sobre un campo algebraicamente cerrado, cada matriz cuadrada tiene un valor propio. Por ejemplo, toda matriz compleja tiene un valor propio. Toda matriz real tiene un valor propio, pero puede ser complejo.
De hecho, un campo $K$ es algebraicamente cerrada si y sólo si cada matriz con entradas en $K$ tiene un valor propio. Puede usar la matriz complementaria para demostrar una dirección. En particular, la existencia de valores propios para matrices complejas es equivalente al teorema fundamental del álgebra.
No, pero puedes construir algunos.
Una matriz en un campo dado (o incluso un anillo conmutativo) puede o no tener vectores propios. Tiene vectores propios si y solo si tiene valores propios, por definición. El teorema de Cayley-Hamilton proporciona una caracterización fácil de si una matriz tiene valores propios: los valores propios son exactamente las raíces del polinomio característico. Por lo tanto, una matriz tiene vectores propios si y solo si el polinomio característico tiene al menos una raíz. Por ejemplo, la siguiente matriz sobre $mathbbR$ no tiene vectores propios, porque su polinomio característico $X^2+1$ no tiene una raíz real: $$ beginpmatrix 0 & -1 \ 1 & 0 \ endpmatrix $$ Esta es una matriz de rotación: representa una transformación plana que transforma cualquier vector en un vector que forma un ángulo específico con el original (un ángulo recto, en este caso), y en particular el resultado posiblemente no puede ser paralelo con el original.
Por lo tanto, es ciertamente posible que una matriz no tenga vectores propios. Sin embargo, dada una matriz sobre un campo, es posible construir un campo más grande en el que la matriz tenga vectores propios. Cualquier campo de extensión en el que el polinomio característico tenga al menos una raíz servirá. En particular, en un campo algebraicamente cerrado como $mathbbC$, cada matriz tiene al menos un valor propio y, por lo tanto, tiene vectores propios. Por ejemplo, la matriz anterior, cuando se toma como una matriz sobre $mathbbC$, tiene los valores propios $i$ y $-i$ y los vectores propios de la forma $(pm iz,z) mid z inmathbbC$.
Finalizando este artículo puedes encontrar los comentarios de otros desarrolladores, tú todavía tienes la libertad de insertar el tuyo si te apetece.