Por fin después de mucho trabajar hemos encontrado el arreglo de esta inconveniente que tantos lectores de este espacio han presentado. Si tienes algún detalle que compartir no dejes de compartir tu conocimiento.
Solución:
Depende de lo que entiendas por ‘fuerza central’.
Si tu fuerza central tiene la forma $vec F = f(r)hat r$ (la fuerza apunta radialmente hacia adentro/afuera y su magnitud depende solo de la distancia desde el centro), entonces es fácil para mostrar que $phi = – int dr f(r)$ es un campo potencial para la fuerza y genera la fuerza. Por lo general, esto es lo que veo que la gente quiere decir cuando dice “fuerza central”.
Sin embargo, si solo quiere decir que la fuerza apunta radialmente hacia adentro/afuera, pero puede depender de las otras coordenadas, entonces tiene $vec F = f(r,theta,phi)hat r$ , y tendrá problemas para encontrar el potencial, porque necesita $f = – fracparcial Vparcial r$, pero también necesitará tener $fracparcial V parcial theta = fracparcial Vparcial phi = 0$ para matar los componentes no radiales, y esto conducirá a contradicciones.
Es lógico que un campo de esta forma no sea conservativo, porque si la fuerza es mayor en $theta = 0$ que en $theta = pi/2$, entonces puedes hacer un trabajo neto alrededor de un campo cerrado. moviéndose hacia afuera de $r_1$ a $r_2$ en $theta = 0$ (trabajo positivo), luego permaneciendo en $r_2$ constante, yendo de $theta =0 $ a $theta = pi/2$ (cero trabajo – fuerza radial), volviendo a $r_1$ (menos trabajo que el primer paso) y volviendo a $theta = 0$ (cero trabajo).
Tome curl en coordenadas polares esféricas de una fuerza central, verá que dado que no hay componente de la fuerza en la dirección $theta$ y $phi$ y $f(r)$ no depende de $theta $ y $phi$, por lo que el rotacional de la fuerza central es cero. Por lo tanto, las fuerzas centrales pueden representarse como gradientes de algún escalar, es decir, las fuerzas centrales son conservativas.