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¿Toda matriz invertible es una matriz de cambio de base?

Nuestros desarrolladores estrellas han agotado sus depósitos de café, por su búsqueda noche y día por la solución, hasta que Eduardo encontró el arreglo en Gitea así que hoy la comparte con nosotros.

Solución:

Sí. Si $S$ es una matriz invertible, entonces su columnas será la otra base, en cuanto a la base estándar $e_1,dots,e_n$, tenemos $ Se_k=$ la $k$ésima columna de $S$.

Di $b_k:=Se_k$. Luego, para una transformación lineal $A$, el valor $ASe_k$ es la imagen de $b_k$ bajo $A$, y para un vector (dado en coordenadas estándar), $S^-1v$ dará sus coordenadas en la base $(b_1,dots,b_n)$

porque si $v=lambda_1 b_1+dots+lambda_n b_n$, entonces, como las columnas de $S$ son solo las de $b_k$, esta ecuación se convierte en $ v=Scdotpmatrixlambda_1\ vdots\ lambda_n$.

Sí, lo es. Cualquier matriz invertible $mathbfA$ es el cambio de base de la base formada por las columnas de $mathbfA$ (que es una base porque $mathbfA$ es invertible) a la base canónica .

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