No olvides que en las ciencias un problema casi siempere puede tener más de una resoluciones, pero nosotros mostraremos la mejor y más eficiente.
Solución:
Bueno, sí. En un mundo puramente matemático donde se pueden especificar las condiciones iniciales con exactitud, los sistemas caóticos son completamente deterministas. No es como un sistema cuántico con colapso de la función de onda, cuya evolución nunca puede especificarse exactamente por las condiciones iniciales.
Pero en la práctica, nunca podemos especificar (o conocer) las condiciones iniciales con exactitud. Entonces siempre habrá algo de incertidumbre en las condiciones iniciales, y tiene sentido caracterizar el comportamiento de un sistema en términos de su respuesta a esta incertidumbre. Básicamente, un sistema caótico es aquel en el que cualquier incertidumbre en el estado en el momento $ t = 0 $ conduce a incertidumbres exponencialmente mayores en el estado a medida que pasa el tiempo, y un sistema no caótico es aquel en el que cualquier incertidumbre inicial en el estado decae o al menos se mantiene estable con el tiempo.
En el primer caso (caótico), dado que no podemos conocer las condiciones iniciales con precisión infinita, siempre habrá algún tiempo después del cual las predicciones del comportamiento del sistema se volverán esencialmente sin sentido: la incertidumbre se vuelve tan grande que se llena. la mayor parte del espacio estatal. Esto es efectivamente similar al comportamiento de un sistema verdaderamente no determinista (por ejemplo, cuántico), en el sentido de que nuestra capacidad para hacer predicciones sobre él es limitada, por lo que algunas personas llaman a los sistemas caóticos no deterministas.
La mecánica clásica es perfectamente integrable para dos cuerpos como sistema cerrado o aislado. Sin embargo, al principio se descubrió que existían problemas, donde Newton descubrió que no podía encontrar una solución para el movimiento de los planetas en una forma completa. Hizo su famosa declaración de que Dios tenía que reajustar el sistema solar ahora y ellos. Poincaré resolvió el premio de Suecia por una solución a la estabilidad del sistema solar al demostrar que no existía tal solución. Esto es lo que abrió la puerta a la teoría del caos, donde Poincaré desarrolló métodos de separatrices y perturbaciones sobre ellas. Para los sistemas generales, resulta que la mecánica newtoniana no es integrable,
La mecánica clásica para sistemas con tres o más cuerpos no se puede resolver en forma cerrada. Para cualquier problema de $ N $ cuerpo hay 3 ecuaciones para el centro de masa, $ 3 $ para el momento, $ 3 $ para el momento angular y una para la energía. Estas son restricciones de $ 10 $ sobre el problema. Un problema de N cuerpos tiene $ 6N $ grados de libertad. Para $ N ~ = ~ 2 $ esto significa que la solución está dada por una primera integral con grado $ 2. $ Para un problema de tres cuerpos, esta primera integral tiene grado $ 8 $. Esto se encuentra con el problema que ilustra Galois, que es que cualquier sistema de raíces con un grado $ 5 $ o más generalmente no tiene raíces algebraicas. Las primeras integrales para ecuaciones diferenciales son funciones que permanecen constantes a lo largo de una solución a esa ecuación diferencial. Entonces, para soluciones de $ 8 $ hay un polinomio de ocho órdenes $ p_8 (x) ~ = ~ prod_ n = 1 ^ 8 (x ~ – ~ lambda_n) $, con $ 8 $ raíces distintas $ lambda_n $ que son constantes junto con las soluciones de $ 8 $. Como $ p_8 (x) ~ = ~ p_5 (x) p_3 (x) $, una rama del álgebra llamada teoría de Galois nos dice que los polinomios de quinto orden no tienen un sistema algebraico general para encontrar sus raíces, o un conjunto de soluciones que son algebraicas. . Esto significa que cualquier sistema de grado superior a cuatro no es en general algebraico. En la raíz del problema de $ N $ -cuerpos, la teoría de Galois nos dice que no hay una solución algebraica para $ N ~ ge ~ 3 $.
Un problema de la mecánica clásica es el problema del denominador de fuga para tres cuerpos. Esto tiene un Hamiltoniano $ H (J, ~ theta) ~ = ~ H_0 (J, ~ theta) ~ + ~ epsilon H_1 (J, ~ theta) $ para $ J ~ = ~ (J_1, ~ J_2) $ y $ theta ~ = ~ ( theta_1, ~ theta_2) $. Aquí una función generadora escrita de acuerdo con la variable $ J ^ prime $
$$ S (J ^ prime, ~ theta) ~ = ~ theta cdot J ^ prime ~ + ~ i epsilon sum_ n_1, n_2 H_ 1, n_1, n_2 over n_1 omega_1 (J ^ prime) ~ + ~ n_2 omega_2 (J ^ prime) e ^ n_1 omega_1 (J ^ prime) ~ + ~ n_2 omega_2 (J ^ prime) $ $ será divergente para la condición resonante $ n_1 omega_1 (J ^ prime) ~ + ~ n_2 omega_2 (J ^ prime) ~ = ~ 0 $. Esta condición de resonancia ha llevado a muchos a suponer que el sistema solar no puede ser estable con condiciones de resonancia. Sin embargo, el sistema solar está repleto de condiciones cercanas a la resonancia.
El número de condiciones de resonancia que existen en la línea real es denso. Dentro de cualquier vecindario $ epsilon $ existirá un número infinito contable de posibles condiciones de resonancia que corresponden a números racionales. A medida que la órbita de un planeta se desplaza, pasará por estas condiciones de resonancia y será perturbado caóticamente. Es de esperar que para números racionales simples, como $ 1/12 $ para la Tierra y Júpiter, en lugar de $ 1003/12000 $ se produzcan resonancias fuertes. Para números racionales más complejos, podría esperarse que la inestabilidad sea más débil. En otras palabras, si la relación de frecuencias es lq lq suficientemente irracional rq rq $ ~ $ para que $$ Big | omega_1 over omega_2 ~ – ~ m over s Big | ~> ~ k ( epsilon) over s ^ 2.5, ~ lim _ epsilon ~ rightarrow ~ 0 k ( epsilon) ~ rightarrow ~ 0 $$ el la órbita es más estable. Entonces, una órbita que se elimine de una condición de “resonancia fuerte” ”cerca de un número racional simple será más estable que una órbita que esté cerca de una órbita con una proporción racional simple de frecuencias.
Ésta es la base del enfoque hamiltoniano de Greenberg a la teoría del caos. Esto se llama determinista porque las ecuaciones diferenciales son invariantes en tiempo inverso, por lo que el movimiento de una partícula está absolutamente determinado. Sin embargo. si tiene una ligera variación en las condiciones iniciales de esa partícula, en general, puede terminar arbitrariamente lejos de su punto de partida. La pequeña variación $ delta z ~ = ~ ( delta q, ~ delta p) $ se amplifica mediante un mapa exponencial $ delta z ~ rightarrow ~ exp ( lambda t) delta z $, para $ lambda $ el exponente de Lyapunov. Cualquier error en la especificación de las condiciones iniciales de un cuerpo da como resultado la amplificación de este error. Desde una perspectiva algorítmica, un truncamiento da como resultado errores de desbordamiento numérico que aumentan. Entonces, la dinámica de una partícula no puede ser integrada por computadora con precisión arbitraria en el futuro, a pesar de que la naturaleza realmente determina su dinámica.
W. Zurek llevó esto un poco más allá y consideró cómo las fluctuaciones cuánticas, donde $ delta z $ está establecido por el principio de incertidumbre de Heisenberg.
Creo que lo siguiente de la entrada de wikipedia aclara bien la terminología:
La teoría del caos es un campo de estudio en matemáticas aplicadas, con aplicaciones en varias disciplinas que incluyen física, economía, biología y filosofía. La teoría del caos estudia el comportamiento de sistemas dinámicos que son muy sensibles a las condiciones iniciales; un efecto que se conoce popularmente como efecto mariposa. Pequeñas diferencias en las condiciones iniciales (como las debidas a errores de redondeo en el cálculo numérico) producen resultados muy divergentes para sistemas caóticos, lo que hace imposible la predicción a largo plazo en general.1 Esto sucede a pesar de que estos sistemas son deterministas, lo que significa que su comportamiento futuro está completamente determinado por sus condiciones iniciales, sin elementos aleatorios involucrados.[2] En otras palabras, la naturaleza determinista de estos sistemas no los hace predecibles.[3] Este comportamiento se conoce como caos determinista o simplemente caos.
Negrita mía.
Tenga en cuenta que el caos da como resultado sistemas completamente deterministas cuando pequeños errores en las condiciones iniciales producen soluciones muy divergentes. Es el “exactamente” en su pregunta lo que es inalcanzable, que estará un poco apagado en situaciones caóticas (respuesta altamente no lineal a los parámetros de entrada) incluso en soluciones de computadora, porque uno no puede ser más preciso que los bits de la computadora.
Tenga en cuenta también que esto no significa que no existan métodos matemáticos para estudiar el comportamiento de tales sistemas. Hay y pueden ser predictivos a granel. Daría como ejemplo el estudio de Tsonis et al que han estudiado el clima con un modelo caótico de red neuronal utilizando como entradas el comportamiento en masa de las corrientes atmosféricas y oceánicas.
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