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Solución:
Intentaré presentar el papel que juegan las distribuciones cuando buscamos soluciones de ecuaciones diferenciales. Por el momento, trabajemos en $ mathbb R ^ n $ y solo con funciones suaves. Suponga que nos gustaría resolver la ecuación de Poisson $ Delta u = f $, dada la función $ f en C ^ infty $. Si existe una función de este tipo $ u en C ^ infty $, entonces para cualquier $ v en C ^ infty _0 $, tenemos begin ecuación int _ mathbb R ^ n v Delta u = int _ mathbb R ^ n fv. tag 1 end ecuación Usando la integración por partes, begin ecuación – int _ mathbb R ^ n nabla u cdot nabla v = int _ mathbb R ^ n fv. tag 2 end ecuación Invirtamos ahora la lógica: supongamos que podemos encontrar una función $ u $ que satisfaga $ (2) $ por cada $ v en C ^ infty _0 $, entonces necesariamente satisface $ Delta u = f $? Lo haga o no, llamaremos a dicha función $ u $ a $ textbf solución débil $ de la ecuación diferencial $ Delta u = f $. En general, es mucho más fácil mostrar que una ecuación diferencial particular tiene una solución débil que una solución en el sentido habitual.
La idea de distribuciones lleva esta idea un paso más allá: podemos ver el mapa $ v mapsto – int _ mathbb R ^ n nabla u cdot nabla v $ como un funcional lineal $ C ^ infty _0 to mathbb R $. Definiremos una $ textbf distribución $ como un $ C ^ infty _0 to mathbb R $ funcional lineal; como antes, podemos preguntar si tenemos una distribución $ nu $ que concuerde con el funcional lineal $ v mapsto int _ mathbb R ^ n fv $, ¿podemos construir a partir de ella una solución de $ Delta u = f $? (Tal distribución a menudo también se llamará una solución débil). Si bien no está claro si esto siempre ocurrirá o no, este es el escenario con la maquinaria del análisis funcional más adecuado para abordar el problema.
En muchos casos agradables (como la ecuación de Poisson para $ f $ adecuados), si tenemos una distribución que resuelve nuestra PDE en el sentido débil, resultará que esta es de hecho una función, y su regularidad dependerá de el de la función dada $ f $ (por ejemplo, si $ f en C ^ infty $ y $ Delta u = f $, entonces $ u en C ^ infty $ también; esto es un ejemplo de regularidad elíptica.)
La conclusión de lo anterior es la siguiente: nos gustaría encontrar $ u $ que satisfaga $ Delta u = f $ en algún espacio funcional, así que amplíe nuestro espacio funcional al espacio de distribuciones. Allí, muestre que podemos encontrar una solución, y demuestre que esta solución de hecho fue un miembro del espacio funcional original para empezar (por supuesto, esta última oración no siempre funcionará, ¡pero esta es la filosofía y la esperanza!) .
La aplicación más básica es el uso de la solución fundamental (también conocida como función de Green) para resolver problemas lineales no homogéneos. Cuando $ * $ es convolución y $ delta $ es el delta de Dirac centrado en cero, $ delta * f = f $ para una clase amplia de $ f $. Por otro lado, si $ L $ es un operador diferencial lineal, entonces $ Lu * f = L (u * f) $. (O al menos, esto es definitivamente true cuando $ u, f $ son suaves.) Esto significa que si pudieras encontrar una solución para $ Lu = delta $, entonces podrías convolucionarla con $ f $ en ambos lados para obtener $ L (u * f) = f PS Entonces $ u * f $ es la solución a $ Lv = f $ si $ u $ es la solución a $ Lw = delta $. Este $ u $ se denomina solución fundamental o función de Green para el operador $ L $.
El principio de Duhamel nos permite extender esto a problemas dependientes del tiempo, siempre que el operador diferencial espacial sea constante (y nuevamente lineal). Cf. http://en.wikipedia.org/wiki/Duhamel%27s_principle#General_considerations
A continuación se muestran las matemáticas mínimas, o más bien las mínimas
Teoría de sistemas lineales
– necesario para comprender el papel de las distribuciones y las funciones de Green con ecuaciones diferenciales. Extraído de notas antiguas sobre “Señales y sistemas”.
Las señales están representadas por $ , x (t) , $ y $ , y (t) , $ donde $ , x , $ es una señal de entrada / excitación, $ , y , $ es una salida señal / respuesta y $ , t , $ es el tiempo. A sistema lineal $ S $ está representado por $ y (t) = S x (t) $; produce una salida cuando se le da una entrada y la linealidad significa que: $$ S left[ lambda, a(t) + mu, b(t) right] = lambda , S , a (t) , + , mu , S , b (t) $$ Entonces $ S $ es un operador lineal unidimensional. Más sobre operadores lineales y especialmente operadores con ecuaciones diferenciales (ordinarias) en:
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Cálculo del operador
Un sistema $ S $ es homogéneo en el tiempo – también llamado Tiempo invariante o Shift invariante – iff para todas las señales de entrada $ x (t) $ y para todas las señales de salida $ y (t) $ y todos los cambios de tiempo $ tau $: $$ S , x ( t- tau) = y (t- tau) $$ Las propiedades de los sistemas lineales homogéneos son, por ejemplo: $$ S x ‘(t) = y’ (t) quad Longleftrightarrow quad S frac d dt x (t) = frac d dt S x (t) quad Longleftrightarrow quad left[ S , , , i, hbar fracddt right] = 0 $$ La respuesta de la derivada de la entrada es la derivada de la salida; la diferenciación de tiempo se acumula con el operador del sistema; la conservación de energía está garantizada (QM).
Considere la siguiente suma, para una amplia clase de funciones $ f (t) $: $$ S left[ sum_i f(tau_i), x(t-tau_i), Deltatau_i right] = sum_i f ( tau_i) , S x (t- tau_i) , Delta tau_i = sum_i f ( tau_i) , y (t- tau_i) , Delta tau_i $$ Tomando el límite de esta suma de Riemann para $ Delta tau_i a 0 $ produce: $$ S left[ int_-infty^+infty f(tau), x(t-tau) dtau right] = int _ – infty ^ + infty f ( tau) , y (t- tau) d tau $$ Donde integrales de convolución Se reconocen $ f * x $ y $ f * y $.
Suponga que un sistema lineal y homogéneo se excita con un delta de Dirac como entrada. Entonces la respuesta correspondiente se llama respuesta delta, escrito como $ , h (t) , $ por definición. Entonces tenemos: $$ S , x (t) = y (t) qquad; qquad S , delta (t) = h (t) $$ Esta función unidimensional es equivalente a Función de Green cuando se generaliza a más dimensiones, por ejemplo, espacio-tiempo. La propiedad fundamental de Dirac-delta dice que: $ x (t) = x (t) * delta (t) $, llamada propiedad “diafragma” en holandés, pero no pudo encontrar un buen equivalente en inglés. Por lo tanto: $$ y (t) = S , x (t) = S left , x (t) * delta (t) , right = x (t) * h (t) $$ Así el superposición integral de $ S $ se ha encontrado: $$ y (t) = h (t) * x (t) = int _ – infty ^ + infty h ( tau) , x (t- tau) d tau $$ En consecuencia: si conocemos la respuesta Delta, entonces conocemos cualquier respuesta del sistema.
Lo anterior explica en pocas palabras algunos conceptos básicos, al alcance de los sistemas unidimensionales lineales y homogéneos en el tiempo. Sin embargo, espero que tenga un propósito y que el lector sea capaz de pensar cómo generalizar este material a más de una dimensión.
Agradecemos que desees añadir valor a nuestra información tributando tu veteranía en las explicaciones.