Esta es la respuesta más completa que te podemos aportar, sin embargo obsérvala pausadamente y analiza si es compatible a tu proyecto.
Solución:
$$boxedsin^2x+cos^2x=1.$$
El teorema fundamental, en mi humilde opinión, sería:
Una lupa que aumenta el tamaño de un objeto $k$ veces:
1) No cambia de ángulo
2) Aumenta la longitud por un factor de $k$
De esto puedes derivar (informalmente) la existencia de seno, coseno, $pi$, el aumento de área de $k^2$, resolver problemas de triángulos semejantes, etc.
Respuesta: El teorema fundamental de la trigonometría es
En un círculo unitario, un arco de longitud $2x$ se encuentra sobre una cuerda de longitud $2sen(x)$.
Fuente: Goodstein Análisis matemático
Argumento: Este teorema conecta la definición geométrica de las funciones trigonométricas con la definición analítica de las funciones trigonométricas.
Prueba: Los puntos $(sin(alpha), cos(alpha))$ y $(-sin(alpha), cos(alpha))$ con $0 leq alpha leq frac1 2pi$ son los extremos de una cuerda en el círculo unitario $x^2+y^2=1$ que tiene una longitud de $2sen(alpha)$. La longitud del arco que los une es $$ int_-sin(alpha)^sin(alpha) sqrt1 + left(fracdydxright)^2 dx = izquierda[arcsin(x)right]^sin(alpha)_-sin(alpha) =2 alpha $$
Observación: El argumento de que la integral es igual a $2alpha$ usa la definición de seno como el límite de una serie de potencias (o cualquier definición analítica que considere más apropiada), pero las coordenadas provienen de la definición de seno como la x -coordenada del punto de intersección de una línea a través del centro de un círculo unitario.
Nota: Esta prueba se puede encontrar en la página 166-167 de Goodstein’s Análisis matemático.
(Además, uno puede ver este teorema como fundamental porque conecta el antiguo desarrollo de la trigonometría con nuestro uso moderno del tema: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Chord_(geometry)).
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