Intenta comprender el código correctamente previamente a aplicarlo a tu trabajo si ttienes algo que aportar puedes decirlo en los comentarios.
Solución:
Si sigue las referencias dadas en el artículo de Wikipedia, encontrará que el contexto de este teorema es muy diferente.
Si bien muchas matemáticas se realizan dentro de modelos de $sf ZFC$ con lógica de primer orden (y así podemos hacer declaraciones sobre lógica de alto orden dentro del modelo). Sin embargo, uno puede usar la lógica de segundo orden (o más bien algunos sistemas de lógica de segundo orden) como base para las matemáticas. Es decir, ya no trabajamos en $sf ZFC$, trabajamos en un contexto de lógica de segundo orden.
En ciertos sistemas que incluyen el axioma de elección, el principio de buena ordenación no es demostrable. Sin embargo, sin usar el axioma de elección, no es difícil demostrar que el principio de buena ordenación todavía implica el axioma de elección.
Este es esencialmente el teorema 5.4 que puedes encontrar en la página 107 del libro de Shapiro.
Hay un problema aparte al tratar de interpretar esta afirmación del artículo de Wikipedia:
Sin embargo, en la lógica de segundo orden, el teorema del buen orden es estrictamente más fuerte que el axioma de elección: del teorema del buen orden se puede deducir el axioma de elección, pero del axioma de elección no se puede deducir el teorema del buen orden.
En la aritmética de segundo orden, el “teorema del buen orden” es trivial: generalmente se considera que significa que todo conjunto de números naturales tiene un elemento mínimo, que es una consecuencia trivial de un axioma de inducción. Incluso es difícil afirmar en aritmética de segundo orden que “hay un buen ordenamiento de la clase $S$ de todos los subconjuntos de $mathbbN$” porque, sintácticamente, esa es una declaración de tercer orden. Se podría afirmar que existe un buen ordenamiento definible de $S$ refiriéndose a una fórmula particular que define el buen ordenamiento, pero no hay razón para sospechar que, de hecho, existe un buen ordenamiento definible de $S$ a menos que también asumamos algo como $V = L$.
Sin embargo, en la aritmética de segundo orden, el “axioma de elección” generalmente se expresa como un esquema de axioma. Y, por lo general, se estudia en una forma en la que los objetos que se eligen son conjuntos, no números naturales. Una instancia típica del esquema dice: $$ (forall n)(exists Y)Phi(n,Y) to (exists Z)(forall m)Phi(m,(Z)_m) $ $ donde $(Z)_m = k : langle m,krangle in Z$. Ver Simpson, Subsistemas de aritmética de segundo ordenapartado VII.6.
Ahora el teorema del buen orden para numeros no implica el esquema para el axioma de elección para conjuntos que acabo de describir. De hecho, el sistema completo de axiomas para la aritmética de segundo orden, con comprensión para todas las fórmulas, ni siquiera prueba todas las instancias del axioma de elección en las que $Phi$ es $Sigma^1_3$ (Simpson VII.6.3).
los key El problema aquí es que, si bien el “axioma de elección” tiene mucho sentido en términos de la teoría de tipos, como la aritmética de segundo orden y la lógica de segundo orden en general, no significa en absoluto lo mismo que en el “axioma sin tipo”. “lenguaje generalmente utilizado para la teoría de conjuntos.