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El lagrangiano (y la acción en su conjunto)
$$ L = frac 1 2 m dot q ^ 2 – ln t $$
es no invariante bajo la transformación dada por $$ T = t, qquad Q = 0. $$
El cambio de escala de $ t $ por factor $ 1 + epsilon $ también modifica las derivadas de tiempo: $ delta dot q = – epsilon dot q $ (y la medida de integración $ dt $), por lo que no se conserva la cantidad sugerida.
¿Dónde está mi error?
Entonces, el error está en elegir la transformación / lagrangiana incorrecta.
El teorema de Noether funciona bien para lagrangianos que dependen explícitamente del tiempo. Aquí hay otro ejemplo de lagrangiano con dependencia explícita del tiempo: $$ L = frac m dot q ^ 2 2 e ^ alpha t. $$ Tal tipo de lagrangiano podría surgir por ejemplo, si tratamos de obtener las ecuaciones de movimientos para sistema disipativo.
La ecuación de Euler-Lagrange para este sistema después de omitir el factor común se lee como $$ ddot q = – alpha dot q. $$
Este lagrangiano es invariante bajo la transformación infinitesimal: $$ t to t ‘= t + epsilon, qquad q to q’ = q – epsilon frac alpha q 2. $$
Sustituyendo estos $ T $ y $ Q $ en el teorema de Noether obtenemos la cantidad $$ A = frac m 2 e ^ alpha t cdot ( dot q ^ 2 + alpha punto q q). $$
Su derivada en el tiempo es $$ dot A = frac m 2 e ^ alpha t cdot ( alpha dot q ^ 2 + alpha ^ 2 dot q q +2 ddot q dot q + alpha ddot q q + alpha dot q ^ 2), $$ Si usamos la ecuación EL para eliminar $ ddot q $ we obtenga $ dot A = 0 $, por lo que la cantidad se conserva como debería ser.
Veamos cómo podemos jugar con el teorema de Noether en el ejemplo de “conservación de energía”.
En primer lugar, aplicamos un variación independiente del tiempo al lagrangiano, begin ecuación t rightarrow t + epsilon end ecuación Para un lagrangiano general, cambiará begin ecuación L (x (t), dot x (t), t ) rightarrow L ‘(x (t), dot x (t), t) = L (x (t), dot x (t), t- epsilon) end ecuación qué lo que requerimos en este caso, es que el lagrangiano sea invariante (no solo covariante) como escalar, begin ecuación L = L ‘ implica frac parcial L parcial t = 0 end ecuación Eso es una propiedad true solo cualquier camino.
Entonces usamos un variación inducida dependiente del tiempo, begin ecuación t rightarrow t + epsilon (t) quad x (t) rightarrow x (t) + epsilon (t) dot x (t) end ecuación El cambio de la acción en este caso es begin ecuación delta S = int_0 ^ T frac parcial L parcial x dot x (t) epsilon (t) + frac parcial L parcial dot x frac d dt ( epsilon (t) dot x (t)) = int_0 ^ T dt epsilon (t) ( frac parcial L parciales x punto x + frac parciales L parciales puntos x ddot x) + frac parciales L parciales punto x dot x dot epsilon end ecuación Ahora agregue $ frac partial L partical t = 0 $ a los dos primeros términos entre paréntesis para convertirlo en una derivada total , ya que esto es true para todas las rutas en el espacio de configuración. Para el segundo término, integramos por partes para obtener (la variación tiene condiciones de límite cero), begin ecuación delta S = int_0 ^ T dt epsilon (t) frac d dt (L – frac parcial L parcial dot x dot x) end ecuación Solo el camino clásico, cualquier variación extremizará la acción; en particular nuestra variación especial $ epsilon (t) $ inducida por la acción de simetría será. Obtenemos la ecuación de conservación de energía, begin ecuación frac d dt (L – frac partial L partial dot x dot x) = 0 quad texto a lo largo de la ruta clásica end ecuación
En otras palabras, tienes que elegir $ T $ y $ Q $ deben ser constantes (independientemente del tiempo) para desenterrar las simetrías del Lagrangiano. Luego puede aplicar la variación dependiente del tiempo para obtener una “ecuación de movimiento” especial a lo largo del camino clásico: ley de conservación.
Necesito elaborar la ecuación de simetría que he derivado.
Bajo una variación independiente del tiempo, decimos que lagrangiano realmente cambia begin ecuación L ‘= L (x (t- epsilon), dot x (t- epsilon), t- epsilon) end ecuación Esto se debe a una identidad, begin ecuación L (x (t), dot x (t), t) = L ‘(t’) quad t ‘= t + epsilon end ecuación Eso significa que el valor de Lagrangiano de un punto en el espacio de configuración es independiente de la coordenada de tiempo que lo describe. Es como si pudieras usar diferentes zonas horarias para describir un evento. Solo se diferencian por una constante.
Sin embargo, esto no es true si aplicamos una variación dependiente del tiempo, begin ecuación frac d dt (x (t- epsilon)) = frac d dt (x (t) – epsilon dot x (t)) = dot x (t) – dot epsilon dot x (t) – epsilon ddot x (t) ne dot x (t ) – epsilon ddot x (t) = dot x ( tau) | _ tau = t- epsilon end ecuación la variación dependiente del tiempo fuerza a la velocidad a cambiar en otra muy diferente de lo que nos gusta. Es como si el tiempo no fluyera uniformemente, de modo que incluso si desplaza su vector de velocidad al punto original antes de la traslación, todavía cambia, porque la velocidad dependerá de cómo fluya el tiempo.
En el aspecto técnico, la variación no puede llevar a begin equaliser frac partid L partical t = 0 end ecuación que es equivalente a la ley de conservación.
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El teorema de Noether también funciona para el Lagrangiano dependiente del tiempo de OP
$$ L ~ = ~ TV, qquad T ~ = ~ frac 1 2 m dot q ^ 2, qquad V (t) ~ = ~ ln t. tag A $$ -
El potencial dependiente del tiempo $ V (t) = ln t $ puede verse como convenciones cambiantes para el nivel cero de la energía potencial. Sin embargo, la energía cinética $ T $ es una constante de movimiento.
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Para probar la conservación de la energía cinética, OP esencialmente comete el mismo error que OP en esta pregunta Phys.SE: Quizás de manera contraintuitiva, la transformación infinitesimal relevante es no una traducción en tiempo puro. El key La transformación infinitesimal es en cambio
$$ delta q ~ = ~ varepsilon dot q. tag B $$
La traducción de tiempo se puede incluir o excluir como se explica en mi respuesta Phys.SE aquí. Por simplicidad, excluyamos la traducción en el tiempo.
$$ delta t ~ = ~ 0. tag C $$
Entonces la transformacion $ delta $ ya no puede “sentir” el término potencial $ V $. Por tanto, estamos de vuelta en una aplicación estándar del teorema de Noether. -
La transformación infinitesimal del lagrangiano
$$ delta L ~ stackrel (A) + (B) + (C) = ~ ldots ~ = ~ varepsilon frac dT dt tag D $$
es una derivada total, es decir, la transformación (B) & (C) es una cuasimetría del Lagrangiano (A). -
El cargo básico de Noether es generador de tiempos de impulso. Es decir: $ p dot q $. La carga completa de Noether $$ p dot q -T ~ = ~ T tag E $$ es, como era de esperar, la energía cinética.
Más adelante puedes encontrar las ilustraciones de otros sys admins, tú además tienes la libertad de dejar el tuyo si te gusta.