Ya no necesitas investigar más por otras páginas ya que llegaste al espacio necesario, poseemos la solución que necesitas pero sin problema.
Solución:
Para funciones de una variable real, la prueba es más simple porque la derivada no nula implica monotonicidad estricta, y obtenemos la función inversa de inmediato. Pero esto se puede adaptar a variables complejas interpretando la monotonicidad estricta como $$operatornameRefracf(a)-f(b)ab>0,quad ane b tag1$$ ( Por supuesto, esto realmente imita creciente en vez de monótono funciones). Con base en esto, se puede dar una prueba que no se base en el teorema de la función inversa para varias variables reales.
De hecho, si $f'(z_0)ne 0$, entonces la función $g(z)=f(z)/f'(z_0)$ satisface $g'(z_0)=1$. Dado que $g$ es $C^1$, se deduce que $operatornameReg’ge frac12$ en alguna vecindad $U={z:|z-z_0|
Dejar $f(z):D to mathbbC$ ser holomorfo en un dominio $D$ del plano complejo. y supongamos que $f'(z_0) neq 0$entonces es localmente invertible.
Por lo siguiente, deja $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$entonces podemos pensar en esta función como una función de $f(x,y) : mathbbR^2 a mathbbR^2$ donde $f(x,y)=izquierda(u(x,y),v(x,y)derecha)$. ahora usando el teorema de la función inversa para funciones de $matemáticasR^n$ para $matemáticasR^2$formamos el jacobiano de esta función: $$ J_f(x,y) = det beginpmatrix u_x & u_y \ v_x & v_y endpmatrix = u_xv_y-u_yv_x$$ y tenga en cuenta que la condición de jacobiano distinto de cero en el punto $(x_0,y_0) equiv z_0$ es lo mismo que $f'(z_0) neq 0$. Porque por las ecuaciones de Cauchy-Riemann tenemos $$ 0 neq u_x(x_0,y_0)v_y(x_0,y_0)-u_y(x_0,y_0)v_x(x_0,y_0) = left( u_x(x_0,y_0) right)^2+left( v_x (x_0,y_0) right)^2= |f'(z_0)|^2 cuadrado negro $$
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