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Solución:
El enunciado del teorema de convergencia dominada (DCT) es el siguiente:
DCT “secuencial”. Suponer $ f_n _ n = 1 ^ infty $ es una secuencia de funciones (medibles) tal que $ | f_n | le g $ para alguna función integrable $ g $ y todo $ n $, y $ lim_ n to infty f_n = f $ puntual en casi todas partes. Entonces, $ f $ es una función integrable y $ int | f-f_n | a 0 $. En particular, $ lim_ n to infty int f_n = int f $ (por la desigualdad del triángulo). Esto se puede escribir como
$$ lim_ n to infty int f_n = int lim_ n to infty f_n. $$
(El enunciado y la conclusión del teorema de la convergencia monótona son similares, pero tiene un conjunto de hipótesis algo diferente).
Como nota, los enunciados de estos teoremas implican secuencias de funciones, es decir, un $ 1 $-familia de funciones de parámetros discretos $ f_n _ n = 1 ^ infty $. Para aplicar estos teoremas a una $ 1 $-familia de funciones de parámetros continuos, digamos $ f_ epsilon _ 0 < epsilon < epsilon_0 $, normalmente se usa una caracterización de límites que involucra un parámetro continuo en términos de secuencias:
Proposición. Si $ f $ es una función, entonces
$$ lim _ epsilon to0 ^ + f ( epsilon) = L iff lim_ n to infty f (a_n) = L quad text para $ mathbf todas $ secuencias $ a_n a 0 ^ + $. $$
Con esta caracterización, podemos formular una versión del teorema de convergencia dominado que involucra familias de funciones de parámetros continuos (tenga en cuenta que utilizo citas para titular estas versiones de la DCT porque estos nombres no son estándar hasta donde yo sé):
DCT “continuo”. Suponer $ f_ epsilon _ 0 < epsilon < epsilon_0 $ es un $ 1 $-familia de parámetros continuos de funciones (medibles) tales que $ | f_ epsilon | le g $ para alguna función integrable $ g $ y todo $ 0 < epsilon < epsilon_0 $, y $ lim _ epsilon to0 ^ + f_ epsilon = f $ puntual en casi todas partes. Entonces, $ f $ es una función integrable y $ int | f-f_ epsilon | a 0 $ como $ epsilon a 0 ^ + $. En particular,
$$ lim _ epsilon to0 ^ + int f_ epsilon = int lim _ epsilon to0 ^ + f_ epsilon. $$
La forma en que usamos la DCT continua en la práctica es eligiendo una secuencia arbitraria $ pmb a_n a 0 ^ + $ y mostrando que las hipótesis de la DCT “secuencial” se satisfacen para esta secuencia arbitraria $ a_n $, utilizando solo el supuesto de que $ a_n a 0 ^ + $ y propiedades de la familia $ f_ epsilon $ que son conocidos por nosotros.
Veámoslo en un caso de muestra. Queremos demostrar mediante DCT que $$ lim _ varepsilon to0 ^ + int_0 ^ infty e ^ – y / varepsilon , dy = 0 $$
Este es el caso si y solo si para todas las secuencias $ varepsilon_n a 0 ^ + $ se mantiene $$ lim_ n to infty int_0 ^ infty e ^ – y / varepsilon_n , dy = 0 $$
Y ahora puede usar DCT en cada una de estas secuencias. Por supuesto, la función limitante siempre será la función cero y puede considerar la función dominante $ e ^ – x $.