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Solución:
Hay muchas, muchas formas de probar el teorema de Cayley-Hamilton, y muchas de ellas tienen algo que ofrecer en forma de simplicidad, generalidad o de proporcionar una idea de por qué se podría esperar que tal resultado se mantuviera en primer lugar. Por ejemplo, puede verse que el caso de valores propios distintos que podría probar es suficiente, una vez que uno se da cuenta de que $p_A(A)=0inmathrmMat_n(mathbf C)$ es solo un (tremendamente complicado ) de $n^2$ ecuaciones polinómicas en los coeficientes de $A$, cada una de las cuales se cumplirá en todas partes una vez que se cumpla en el subconjunto denso de matrices con $n$ valores propios distintos.
Personalmente, creo que el siguiente enfoque conduce de forma más natural al teorema de Cayley-Hamilton, es decir, surge de manera bastante lógica de consideraciones generales que son de todos modos fundamentales para los problemas de valores propios, en lugar de ser una afirmación que surge de la nada.
Ciertamente (por la dimensionalidad finita del espacio matricial) existen polinomios distintos de cero $P$ con $P[A]=0$, y por un argumento estándar de división euclidiana hay un polinomio $mu_A$ tal que esto sucede exactamente cuando $P$ es un (polinomio) múltiplo de $mu_A$, el polinomio mínimo de $A$. Una observación fácil pero crucial es $ $: para cualquier polinomio $D$ divisor[A]$mu_A$, el polinomio mínimo de la restricción de (el mapa lineal definido por) $A$ al subespacio que es la imagen de $D[A]$ viene dado por $mu_A/D$. Para ver esto, para cualquier polinomio$~Q$ la restricción de$~Q[A]$ a la imagen de $D[A]$ es cero si y solo si $Q[A]circ D[A]=(QD)
$ es cero en todo el espacio. Cada valor propio$~lambda$ de $~A$ es una raíz de $mu_A$, ya que aplicando $mu_A(A)=0$ a un vector propio lo multiplica por $mu_A(lambda)$. Desde $ $ se sigue que, a la inversa, toda raíz$~lambda$ de $mu_A$ es valor propio de $~A$ (el polinomio $D=X-lambda$ divide a $mu_A$, por lo que $D(A)=A- lambda I$ no es sobreyectiva, ya que la restricción de $~A$ a su imagen tiene un polinomio mínimo $mu_A/Dneqmu_A$). Si $m$ es la multiplicidad si $X-lambda$ como factor (irreducible) de $mu_A$, entonces el núcleo de $(A-lambda I_n)^m$ es por definición el subespacio característico (o espacio propio generalizado ) por $~lambda$ de $~A$. La restricción de $~A$ a la
imagen de $(A-lambda I_n)^m$ no tiene valor propio $lambda$ (su polinomio mínimo $mu_A/(X-lambda)^m$ no tiene raíz$~lambda$), por lo que forma un directo suma con el subespacio característico para $lambda$; por el teorema de rango-nulidad forman una descomposición de suma directa de todo el espacio. Por inducción sobre el número de valores propios, el espacio se descompone entonces como suma directa de subespacios característicos, siempre que $mu_A$ se desdoble en factores lineales, como ciertamente sucede sobre campos algebraicamente cerrados como los números complejos. Todo esto es material estándar sobre el polinomio mínimo. Visiblemente tiene las mismas raíces que el polinomio característico $p_A$ (es decir, todos los valores propios), y es natural comparar las multiplicidades. La multiplicidad de $lambda$ como raíz de $mu_A$ es el número $m$ anterior, y su multiplicidad como raíz de $p_A$ es el
dimensión
del subespacio característico para $lambda$. por $ true $, las potencias $(A-lambda I_n)^i$ para $i=0,1,ldots,m$ deben tener imágenes distintas (cada vez más pequeñas) y, por lo tanto, todas tienen núcleos distintos (cada vez más grandes), por lo que la dimensión del mayor de estos núcleos, el subespacio característico de $lambda$, es al menos $m$. Esto significa que (asumiendo un campo algebraicamente cerrado) el polinomio característico es un múltiplo de $mu_A$; así $p_A(A)=0$, el teorema de Cayley-Hamilton.
Se puede ver que el caso del campo algebraicamente cerrado implica el caso sobre campos arbitrarios, ya que ni el polinomio característico, ni el polinomio mínimo, ni la relación de divisibilidad de ellos cambian cuando se extiende el campo. Si no le gusta este vuelo a campos algebraicamente cerrados (de hecho, bastará con un campo de división del polinomio mínimo), existe un enfoque alternativo que funciona con subespacios cíclicos (atravesados por imágenes iteradas de un solo vector distinto de cero) en lugar de espacios propios. Esto lleva a un caso básico que involucra matrices compañeras y un argumento de inducción; ver esta respuesta.
Para una matriz compleja $A,$ la prueba más fácil que conozco es notar que los resultados son para matrices triangulares superiores, y luego notar que existe una matriz unitaria $U$ tal que $U^-1AU$ es triangular superior. Para ver la segunda afirmación, tenga en cuenta que $A$ tiene un vector propio $u$ de longitud $1,$ y complete $ u $ en una base ortonormal y proceda por inducción. La primera afirmación es un cálculo directo, ya que es visible el polinomio característico de una matriz triangular superior.
Para cualquier matriz diagonal $D$, es claro que $p_D(D)=0$. Por lo tanto, para cualquier $P in GL_n(mathbbC)$, $p_PDP^-1(PDP^-1)=p_D(PDP^-1)=Pp_D(D )P^-1=0$: el teorema de Cayley se cumple para matrices diagonalizables. Además: Lema:
el conjunto de matrices diagonalizables es denso en $M_n(mathbbC)$.
Prueba: Sea $M in M_n(mathbbC)$. Para algunos $P in GL_n(mathbbC)$, $M=PT(lambda_1,dots,lambda_n)P^-1$ donde $T(lambda_1,dots,lambda_n) $ es una matriz triangular superior con una diagonal $(lambda_1,dots,lambda_n)$. Sea $epsilon_ij$ tal que $lambda_i+epsilon_ij neq lambda_k + epsilon_kj$ para $i neq k$ y $epsilon_ij undersetj to + inftylongrightarrow 0$. Entonces $PT(lambda_1+ epsilon_1j,dots,lambda_n+ epsilon_nj)P^-1$ es diagonalizable (todos sus valores propios son distintos) y converge a $M$. $cuadrado$Ahora $det$ es continua, entonces si $M in M_n(mathbbC)$ y $(M_n)$ es una secuencia de matrices diagonalizables que convergen en $M$, $p_M(M)=lim limites_n to + infty p_M_n(M_n)=0$.
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