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Teorema de Cauchy para grupos abelianos

Esta es la contestación más acertada que encomtrarás brindar, pero primero mírala pausadamente y analiza si se adapta a tu trabajo.

Solución:

Su prueba es incorrecta. Usted sabe que $(x^k)^p=e$ (para cualquier $xin G$), pero esto no significa necesariamente que $x^k$ tenga el orden $p$. Todo lo que te dice es que el orden de $x^k$ divide $p$, entonces es $1$ o $p$.

De hecho, su enfoque no puede funcionar sin alguna modificación importante. Es posible que $x^k=e$ para todo $xin G$, por lo que no hay ningún elemento de la forma $x^k$ que tenga orden $p$. Por ejemplo, si $G=(mathbbZ/pmathbbZ)^2$, entonces $|G|=p^2$ entonces $k=p$, pero $x^p=e$ para todo $xen G$.

De $x^kp=e$, lo que se puede deducir es que $(x^k)^p=e$, y por lo tanto, que $|x^k|$ divide a $p$; es decir, que sea igual a $p$ o igual a $1$ (es decir, $x^k=e$). ¿Cómo sabes que es igual a $p$?

¿Y dónde usaste que $G$ es abeliano?

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