Nuestro grupo redactor ha pasado mucho tiempo investigando la solución a tus búsquedas, te dejamos la resolución de modo que nuestro objetivo es servirte de gran ayuda.
Solución:
La pregunta de OP probablemente se deba al hecho de que la Ref. 1 olvida mencionar que:
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La otra conexión $nabla:Gamma(TM)times Gamma(TM)to Gamma(TM) $ con símbolos inferiores de Christoffel
$$Gamma_ij,k~:=~ Gamma_ij^ell~g_ell ktag1$$
todavía se supone que es compatible con la métrica
$$nabla g = 0qquadLeftrightarrowqquad partial_kg_ij=Gamma_ki,j+Gamma_kj,i.tag2$$ -
El tensor de contorsión $K~in~Gammaleft(T^astMotimes bigwedge^2(T^astM)right)$ se define$^1$ como la diferencia entre la métrica compatible $nabla$ y la conexión Levi-Civita $nabla^LC$es decir
$$K_i,jk~:=~Gamma_ij,k-Gamma^LC_ij,k ~stackrel(2)=~-K_i,kj .etiqueta3 $$ -
El tensor de torsión $T~in~Gammaleft(bigwedge^2(T^astM)otimes T^astM right)$ se define$^1$ como
$$ T(X,Y)~:=~nabla_XY-nabla_YX-[X,Y] $$$$quadLeftrightarrowquad T_ij,k~:=~Gamma_ij,k-Gamma_ji,k~stackrel(3)=~K_i,jk -K_j,ik.tag4 $$ -
Se puede demostrar que la relación inversa a (4) es
$$ K_i,jk~stackrel(4)=~ frac12left(T_ij,k-T_jk,i+T_ki,j derecha),etiqueta5$$
y viceversa. -
Descompongamos el tensor de contorsión
$$K_i,jk ~=~ frac12(K^+_i,jk+K^-_i,jk), tag7$$
en componentes
$$ K^pm_i,jk~:=~K_i,jkpm K_j,ik, $$$$ K^+_i,jk~=~T_ki,j+T_kj,i, qquad K^-_i,jk~=~T_ij,k, etiqueta8 $$
que son wrt simétricos/antisimétricos. los dos primeros índices $iflecha izquierda-derecha j$. -
La ecuación geodésica dice
$$0~=~nabla^LC_dotgammadotgamma qquadLeftrightarrowqquad ddotgamma^ell~=~-Gamma^ LC,ell_ijdotgamma^idotgamma^j$$$$qquadLeftrightarrowqquad -g_kellddotgamma^ell~=~Gamma^LC_ij,kdotgamma^i puntogamma^j.tag9 $$ -
Por el contrario, la ecuación autoparalela
$$0~=~nabla_dotgammadotgamma qquadLeftrightarrowqquad ddotgamma^ell~=~-Gamma^ell_ ijpuntogamma^ipuntogamma^j$$$$qquadLeftrightarrowqquad -g_kellddotgamma^ell~=~Gamma_ij,kdotgamma^idotgamma ^j~=~left(Gamma^LC_ij,k+frac12K^+_i,jkright)dotgamma^i puntogamma^jtag10 $$
puede detectar la parte simétrica $K^+_i,jk$ de la contorsión. -
Observación:
$$T_ij,k text es totalmente antisimétrico qquadLeftrightarrowqquad K_i,jk text es totalmente antisimétrico $$$$qquadLeftrightarrowqquad K^+_i,jk~=~0.tag11$$
En caso afirmativo, tenemos $T_ij,k=2K_i,jk$y las ecuaciones geodésica y autoparalela (9) y (10) son iguales.
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$^1$ Las aplicaciones pertinentes del isomorfismo musical quedan implícitamente implícitas de ahora en adelante.
Acuérdate de que tienes la capacidad de interpretar si diste con la solución.