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Tensor de diferencia entre dos conexiones

Nuestro grupo redactor ha pasado mucho tiempo investigando la solución a tus búsquedas, te dejamos la resolución de modo que nuestro objetivo es servirte de gran ayuda.

Solución:

La pregunta de OP probablemente se deba al hecho de que la Ref. 1 olvida mencionar que:

  1. La otra conexión $nabla:Gamma(TM)times Gamma(TM)to Gamma(TM) $ con símbolos inferiores de Christoffel
    $$Gamma_ij,k~:=~ Gamma_ij^ell~g_ell ktag1$$
    todavía se supone que es compatible con la métrica
    $$nabla g = 0qquadLeftrightarrowqquad partial_kg_ij=Gamma_ki,j+Gamma_kj,i.tag2$$

  2. El tensor de contorsión $K~in~Gammaleft(T^astMotimes bigwedge^2(T^astM)right)$ se define$^1$ como la diferencia entre la métrica compatible $nabla$ y la conexión Levi-Civita $nabla^LC$es decir
    $$K_i,jk~:=~Gamma_ij,k-Gamma^LC_ij,k ~stackrel(2)=~-K_i,kj .etiqueta3 $$

  3. El tensor de torsión $T~in~Gammaleft(bigwedge^2(T^astM)otimes T^astM right)$ se define$^1$ como
    $$ T(X,Y)~:=~nabla_XY-nabla_YX-[X,Y] $$$$quadLeftrightarrowquad T_ij,k~:=~Gamma_ij,k-Gamma_ji,k~stackrel(3)=~K_i,jk -K_j,ik.tag4 $$

  4. Se puede demostrar que la relación inversa a (4) es
    $$ K_i,jk~stackrel(4)=~ frac12left(T_ij,k-T_jk,i+T_ki,j derecha),etiqueta5$$
    y viceversa.

  5. Descompongamos el tensor de contorsión
    $$K_i,jk ~=~ frac12(K^+_i,jk+K^-_i,jk), tag7$$
    en componentes
    $$ K^pm_i,jk~:=~K_i,jkpm K_j,ik, $$$$ K^+_i,jk~=~T_ki,j+T_kj,i, qquad K^-_i,jk~=~T_ij,k, etiqueta8 $$
    que son wrt simétricos/antisimétricos. los dos primeros índices $iflecha izquierda-derecha j$.

  6. La ecuación geodésica dice
    $$0~=~nabla^LC_dotgammadotgamma qquadLeftrightarrowqquad ddotgamma^ell~=~-Gamma^ LC,ell_ijdotgamma^idotgamma^j$$$$qquadLeftrightarrowqquad -g_kellddotgamma^ell~=~Gamma^LC_ij,kdotgamma^i puntogamma^j.tag9 $$

  7. Por el contrario, la ecuación autoparalela
    $$0~=~nabla_dotgammadotgamma qquadLeftrightarrowqquad ddotgamma^ell~=~-Gamma^ell_ ijpuntogamma^ipuntogamma^j$$$$qquadLeftrightarrowqquad -g_kellddotgamma^ell~=~Gamma_ij,kdotgamma^idotgamma ^j~=~left(Gamma^LC_ij,k+frac12K^+_i,jkright)dotgamma^i puntogamma^jtag10 $$
    puede detectar la parte simétrica $K^+_i,jk$ de la contorsión.

  8. Observación:
    $$T_ij,k text es totalmente antisimétrico qquadLeftrightarrowqquad K_i,jk text es totalmente antisimétrico $$$$qquadLeftrightarrowqquad K^+_i,jk~=~0.tag11$$
    En caso afirmativo, tenemos $T_ij,k=2K_i,jk$y las ecuaciones geodésica y autoparalela (9) y (10) son iguales.

$^1$ Las aplicaciones pertinentes del isomorfismo musical quedan implícitamente implícitas de ahora en adelante.

Acuérdate de que tienes la capacidad de interpretar si diste con la solución.

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