Solución:
No sé por qué esta pregunta tiene un voto negativo, porque identifica un punto sutil sobre la aritmética que se vuelve particularmente significativo cuando la noción de “primo” se extiende a otros contextos, y es relevante en lo que respecta a los números enteros cuando se mira en cuestiones como la factorización única.
Cuando nos encontramos por primera vez con números primos, lo hacemos en el contexto de los enteros positivos. El punto significativo de este contexto es que $ + 1 $ es la única unidad (el único entero positivo con un inverso multiplicativo). Entonces, la pregunta aquí realmente no surge. A menudo, cuando el enfoque principal del trabajo son los números enteros positivos, la palabra primo se utilizará para implicar un número entero positivo.
Tan pronto como empezamos a extender esto a los enteros, y en particular, a considerar que los enteros tienen la estructura de un anillo, agregamos una segunda unidad $ -1 $ con $ (- 1) ^ 2 = 1 $. Incluso en este contexto, es posible definir los números primos como enteros positivos sin demasiados inconvenientes.
Pero si nos extendemos más y agregamos $ i $ con $ i ^ 2 = -1 $ como otra unidad – tenga en cuenta que $ i cdot -i = 1 $, estamos en un mundo diferente. Por ejemplo, $ 2 = (1 + i) (1-i) $ y $ (1 + i) = i (1-i) $ así que eso $ 2 = yo (1-i) ^ 2 $. ¿Son estas factorizaciones de $ 2 $ ser tomado como igual o diferente?
Muy pronto, en el contexto de la teoría de anillos y la teoría de los enteros algebraicos, comenzamos a hablar de los ideales primos (inicialmente pensados como todos los múltiplos de algunos primos $ p $ – pero extendido más allá de esa idea también – un ideal que consiste en todos los múltiplos de un solo elemento se llama principal). Y es algo natural, si el ideal es principal, llamar al generador un elemento principal del anillo. Sin embargo, los números primos solo se identifican hasta la multiplicación por unidades: $ 1 + i $ genera el mismo ideal que $ 1-i $. Una de las razones para utilizar ideales es que la singularidad de la factorización se puede mantener en este contexto más amplio. En $ mathbb Z $ ambos $ 2 $ y $ -2 $ generar el mismo ideal.
A elemento principal de un anillo no es una unidad $ p $ con la propiedad que si $ p $ divide un producto $ ab $ luego se divide $ a $ o $ b $. En el ring $ mathbb Z $ de enteros, esta propiedad es compartida por los primos (positivos) $ 2,3,5,7,11, ldots $ y también los primos negativos $ -2, -3, -5, -7, ldots $, e incluso por $ 0 $. Sin embargo, el término número primo se utiliza convencionalmente sólo para los elementos primos positivos de $ mathbb Z $, y hay buenas razones para esta convención, por ejemplo $ 15 = 3 cdot 5 = (- 3) cdot (-5) $ muestra que la factorización prima sería menos única de lo que estamos acostumbrados.
Solo quería proporcionar una cita específica de un texto que defina los números primos para los negativos de la manera en que varias de las otras respuestas ya afirman. Esto es de Hungerford Álgebra abstracta: una introducción (sección 1.3):
DEFINICIÓN. Un entero $ p $ se dice que es primo si $ p ne 0, pm1 $ y los únicos divisores de $ p $ están $ pm1 $ y $ pm p $.
EJEMPLO. $ 3, -5, 7, -11, 13, $ y $ -17 $ son primos, pero $ 15 $ no es (porque $ 15 $ tiene divisores distintos a $ pm1 $ y $ pm15 $, tal como $ 3 $
y $ 5 $). El entero $ 4567 $ es primo; probar esto a partir de la definición requiere una tediosa comprobación de todos sus posibles divisores.No es difícil demostrar que hay infinitos números primos distintos (ejercicio 25). Porque un entero $ p $ tiene los mismos divisores que
$ -p $, vemos eso$ p $ es primo si y solo si $ -p $ es primordial.
En este caso, el teorema fundamental de la aritmética se establece en términos de factores primos tanto positivos como negativos (teorema 1.1), con el enunciado estándar del número natural dado a partir de entonces como corolario (corolario 1.2).
Tenga en cuenta que esto es antes de que los anillos (et al.) Aparezcan en este texto (aunque, por supuesto, lo harán más tarde), por lo que la definición no se limita a ese dominio.