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Solución:
Ver que $f(theta) le sup_Thetaf(theta)$ para todo $theta in Theta$ y también $g(theta) le sup_Thetag( theta)$ para todo $theta in Theta$ y por lo tanto tendrás $f(theta)+g(theta) le sup_Thetaf(theta)+sup_ thetag(theta)$ para todo $theta in Theta$ y se sigue que $sup_Theta left ( f(theta)+g(theta) right ) le sup_ Thetaf(theta)+sup_Thetag(theta)$
Hay una relación, y aquí está la intuición. Funciona mejor si asumimos que $Theta$ es compacto, de modo que $f$ y $g$ en realidad alcanzan sus máximos en $Theta$, pero puede extender la intuición al caso no compacto. Entonces, asumiendo que $Theta$ es compacto, sean $theta_f^*$ y $theta_g^*$ los valores en $Theta$ en los que $f$ y $g$ alcanzan sus máximos, respectivamente: $$ f( theta_f^*) = sup_theta in Theta f(theta), qquad g(theta_g^*) = sup_theta in Theta g(theta). $$
Si $f$ y $g$ alcanzan sus supremos en el mismo punto $theta_f^* = theta_g^* =: theta^*$, entonces para maximizar $f(theta) + g(theta)$, deberíamos escoger $theta = theta^*$; sabemos que esto es correcto porque elegir cualquier $theta$ que no sea $theta^*$ disminuirá ambas cosas $f$ y $g$, y por lo tanto $f+g$. Entonces, en este caso, $$ sup_theta in Theta [f(theta) + g(theta)] = f(theta^*) + g(theta^*) = sup_theta in Theta f(theta) + sup_theta in Theta g(theta). $$
Si $f$ y $g$ no alcanzan sus supremos en el mismo punto, es decir, $theta_f^* neq theta_g^*$, nuevamente, el mejor valor posible para $(f + g)( theta)$ que podríamos esperar es $f(theta_f^*) + g(theta_g^*) = sup_theta in Theta f(theta) + sup_theta in Theta g(theta)$. Pero solo podemos evaluar $f+g$ en un $theta$ particular; tal vez deberíamos elegir $theta_f^*$ o tal vez $theta_g^*$ o algún otro $theta$, pero dado que $theta_f^* neq theta_g^*$, no podemos maximizar simultáneamente $f$ y $ g$ para maximizar $f+g$. Por lo tanto, en este caso, $$ sup_theta in Theta [f(theta) + g(theta)] leq f(theta_f^*) + f(theta_g^*) = sup_theta in Theta f(theta) + sup_theta in Theta g(theta). $$ Esta es la desigualdad que generalmente se cumple. @Siddharth Joshi muestra cómo probarlo (sin asumir la compacidad de $Theta$).
Para $alpha = sup f ge f(x)$ para todo x, y $beta = sup g ge f(x)$ para todo x entonces $alpha + beta ge f(x) + f(y)$ para todo x. Entonces $sup f + sup g = alpha + beta ge sup (f + g)$.
Eso es lo que otros llaman “intuitivo”. Me gusta pensar en ello como un grado de limitación. Tenemos más grados de libertad para f y g operando independientemente que juntos como una suma fija (f + g). Entonces, la suma de las sumas es mayor (o igual) que la suma de las sumas porque simplemente tenemos más opciones.
Pero esa es una definición bastante vaga y si no está clara cuando la digo por primera vez, será confuso.
Para mostrar que la igualdad podría no ser válida, simplemente imagine que f y g “se agrandan” en diferentes lugares. Imagina $f(x) < 1$ para todos los $x ne 1$ pero $f(1) = 1$ (ejemplo $f(x) = 1 - (x-1)^2$) $sup f = 1$. Imagina $g(x) < 1$ para todo $x ne 0$ pero $f(0) = 1$ (Ej. $g(x) = 1 - x^x$) $sup g = 1$. Pero $f + g$ siempre es significativamente menor que 2. (En nuestros ejemplos $f + g = 1 - 2(x^2 - x) le 3/2$)
Entonces $sup f + sup g > sup (f + g)$. En nuestro ejemplo $2 = sup f + sup g > sup (f + g) = 3/2$
O mejor aún, sea $g(x) = -f(x)$ donde $f$ está acotado por arriba y por abajo pero incluye valores tanto positivos como negativos. $f(x) + g(x) = 0$ entonces $sup(f + g) = 0$ pero $sup f > 0$ y $sup g = – inf f > 0$.
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