Después de consultar especialistas en esta materia, programadores de deferentes áreas y profesores dimos con la respuesta al dilema y la compartimos en esta publicación.
Solución:
Algunos podrían encontrar el conjunto de Cantor menos un punto como un subespacio interesante del conjunto de Cantor. Independientemente del punto que se elimine, son homeomorfos entre sí. Para la concreción denotar $C_0=Csetminus $. Este espacio se caracteriza por lo siguiente
Teorema: Un espacio topológico es homeomorfo a $C_0$ si y solo si es separable, metrisable, de dimensión cero, localmente compacto, no compacto y no tiene puntos aislados.
Ahora que se ha introducido $C_0$, los subconjuntos abiertos no vacíos del conjunto de Cantor tienen la siguiente caracterización agradable:
Teorema: Cualquier subconjunto abierto compacto no vacío de $C$ es homeomorfo a $C$. Cualquier subconjunto abierto no compacto de $C$ es homeomorfo a $C_0$.
Además, esta propiedad de tener exactamente dos clases de subconjuntos abiertos, de los cuales los otros son compactos y los otros no compactos, caracteriza al conjunto de Cantor entre los espacios compactos metrizables, ver Schoenfeld AH y Gruenhage G., Una caracterización alternativa del conjunto de Cantor. Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense 53 (1975), 235-236 (disponible en línea de forma gratuita).
El conjunto de Cantor es un muy interesante subconjunto del conjunto de Cantor.
Es un espacio métrico que es:
- Compacto;
- En ninguna parte denso como un subconjunto de $[0,1]PS
- No tiene puntos aislados;
- Polaco (completamente metrizable con un subconjunto contable denso);
- Dimensión cero.
No solo eso, también es universal con respecto a que todo espacio de Hausdorff, compacto, segundo contable y de dimensión cero es homeomorfo al conjunto de Cantor.
Además, todo espacio métrico separable de dimensión cero es homeomorfo a un subconjunto del espacio de Cantor. Esto incluye, en particular, los irracionales (con la métrica habitual, también conocida como espacio de Baire).
De este hecho tenemos que los innumerables subconjuntos cerrados del espacio de Cantor son en sí mismos espacios de Cantor, también tenemos que cualquier producto numerable de los espacios de Cantor es homeomorfo al espacio de Cantor, y podemos dividir cada conjunto de Cantor en un continuo de muchos conjuntos de Cantor disjuntos.
Esto para mostrarle que “la mayoría” de los subespacios interesantes del conjunto de Cantor son en sí mismos conjuntos de Cantor…
El conjunto cantor tiene medida cero, por lo que puede comerse libremente a otros conjuntos y nunca engordar 😉
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