Solución:
En el topología habitual de $ mathbb {R} $, $ mathbb {Q} $ no está abierto ni cerrado.
El interior de $ mathbb {Q} $ está vacío (cualquier intervalo no vacío contiene irracionales, por lo que $ mathbb {Q} $ no puede contener ningún conjunto abierto no vacío). Como $ mathbb {Q} $ no es igual a su interior, $ mathbb {Q} $ no está abierto.
El cierre de $ mathbb {Q} $ es todo $ mathbb {R} $: cada número real es el límite de una secuencia de racionales, por lo que cada número real se encuentra en el cierre de $ mathbb {Q} $. Dado que $ mathbb {Q} $ no es igual a su cierre, no está cerrado.
Naturalmente, dado que $ mathbb {Q} $ no está abierto, su complemento no está cerrado; dado que $ mathbb {Q} $ no está cerrado, su complemento no está abierto.
Pero esto es en el usual topología. $ mathbb {R} $ puede estar dotado de muchas topologías, y ciertamente es posible que $ mathbb {Q} $ esté abierto (o cerrado) en algunas de ellas. Por ejemplo, en la topología discreta, donde cada subconjunto de $ mathbb {R} $ está abierto y cerrado, $ mathbb {Q} $ está abierto y cerrado.
Si los racionales fueran un conjunto abierto, entonces cada racional estaría en algún intervalo abierto que contenga solo racionales. Por lo tanto $ mathbb {Q} $ no está abierto.
Si $ mathbb {Q} $ estuvieran cerrados, entonces su complemento estaría abierto. Entonces, cada número irracional estaría en algún intervalo que contenga solo números irracionales. Eso tampoco sucede. Éste es más difícil de probar: mostrar que cada intervalo en la línea contiene algunos racionales depende del hecho de que el campo ordenado $ mathbb {R} $ es Arquímedes.
Ninguno. Su interior está vacío y su cierre es toda la línea.