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Esta pregunta no tiene una sola respuesta buena, porque no existe una definición universalmente acordada de “tensor” en matemáticas. En particular:
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Los tensores a veces se definen como arreglos multidimensionales, de la misma manera que una matriz es bidimensional. array. Desde este punto de vista, una matriz es ciertamente un caso especial de tensor.
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En geometría diferencial y física, “tensor” se refiere a cierto tipo de objeto que se puede describir en un punto de una variedad (aunque la palabra “tensor” se usa a menudo para referirse a un campo tensorial, en el que se elige un tensor para cada punto). Desde este punto de vista, una matriz puede usarse para describir un tensor de rango dos en coordenadas locales, pero un tensor de rango dos no es en sí mismo una matriz.
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En álgebra lineal, “tensor” a veces se refiere a un elemento de un producto tensorial y, a veces, se refiere a cierto tipo de mapa multilineal. Nuevamente, ninguno de estos es una generalización de “matriz”, aunque puede obtener una matriz de un tensor de rango dos si elige una base para su espacio vectorial.
Te encuentras con el mismo problema si haces una pregunta como “¿Es un vector solo una tupla de números?” A veces, un vector se define como una tupla de números, en cuyo caso la respuesta es sí. Sin embargo, en geometría diferencial y física, la palabra “vector” se refiere a un elemento del espacio tangente a una variedad, mientras que en álgebra lineal, un “vector” puede ser cualquier elemento de un espacio vectorial.
En un nivel básico, la afirmación “un vector es un tensor de rango 1 y una matriz es un tensor de rango 2” es aproximadamente correcta. Esta es ciertamente la forma más simple de pensar acerca de los tensores y se refleja en la notación de Einstein. Sin embargo, es importante apreciar las sutilezas de esta identificación y darse cuenta de que “tensor” a menudo significa algo ligeramente diferente y más abstracto que un multidimensional. array.
La conexión es esta: una matriz consta de los coeficientes de un tensor (1,1), pero no es un tensor en sí mismo.
Supongamos que estamos hablando de una transformación lineal $T$ en un espacio vectorial de $n$ dimensiones $V$.
Ahora, $T$ es ciertamente un tensor (después de todo, los tensores son mapas multilineales en copias de $V$ y $V^ast$, y una transformación lineal puede interpretarse como una función multilinar de $Vtimes V^ ast$ a $mathbbF$.)
Una vez que se fija una base para $V$, se puede hablar de la matriz $A$ para $T$ que se escribe en términos de la base. Lo mismo puede decirse de las funciones multilineales generales en copias de $V$ y $V^ast$, que después de haber fijado una base, tiene una gran array manteniendo sus coeficientes.
Es importante recordar que no se debe confundir el array para el tensor. El tensor es una entidad independiente de la base: es un tipo de función. Los componentes son solo una representación particular de esa función, y los componentes dependen de una elección de base.
Finalizando este artículo puedes encontrar las interpretaciones de otros sys admins, tú de igual forma tienes la opción de dejar el tuyo si te apetece.