este problema se puede resolver de diversas formas, por lo tanto te dejamos la que en nuestra opinión es la respuesta más completa.
Solución:
Primero, si $f_1$ y $f_2$ son soluciones a $Tf=g,$ donde $T$ es un operador lineal y $g$ se da, entonces $f_1-f_2$ es una solucion a $Tf=0.$ Por eso estudiaremos $xf(x)=0.$
Se puede demostrar fácilmente en la teoría de la distribución que $xdelta(x)=0,$$x^2delta(x)=0,$ y $x^2delta'(x)=0,$ pero como estás estudiando las transformadas de Fourier, daré una explicación usando las transformadas de Fourier:
Toma la ecuación $xf(x) = 0$ y aplicar la transformada de Fourier a ambos lados. Usted obtiene $ihatf'(xi) = 0.$ Esta es una ecuación diferencial con soluciones. $hatf(xi) = C,$ donde $C$ es una constante Tomando la transformada inversa de Fourier nos da $f(x) = Cdelta(x).$
Igualmente, $x^2 f(x) = 0$ se transforma en $-hatf”(xi)=0$ con soluciones $hatf(xi) = Axi+B,$ es decir $f(x) = -iAdelta'(x)+Bdelta(x).$
Entonces, informalmente, el Dirac $delta$ es cero en todas partes excepto en $0$ y tiene integral $1$. Entonces, informalmente, $delta$ es infinito en $0$por lo tanto $delta$ no es admitida por el análisis tradicional. En el análisis regular, dado $xf(x) = a$dividimos ambos lados por $x$ para obtener $f(x) = a/x$ pero podemos sumar cualquier número (digamos $b$) veces $delta(x)$ sobre $a/x$ como cuando $x$ no es cero cualquier número de veces $delta(x)$ es solo $0$ y cuando $x$ es $0$ entonces $xf(x)$ sigue siendo cero y así sumando $b. delta (x) $ sobre $a/x$ no cambia la verdad del hecho de que $xf(x)=a$.
Ahora quizás la otra solución tenga sentido, pero podría ser útil saber que si $delta^'(x)$ es la derivada de la función de Dirac entonces $delta^'(x)=-delta(x)/x$ asi que $delta^’$ es ‘aún más infinito’ que $delta(x)$ :).
Para completar la buena respuesta dada por md2perpe, solo necesita obtener una solución particular de las ecuaciones. en dimensión $1$ sin embargo, $1/x$ y $1/x^2$ no son funciones localmente integrables, por lo que uno debería definirlas como valores principales (y a veces se escribe $mathrmP(tfrac1x) = mathrmpv.(tfrac1x)$ y $mathrmfp.(tfrac1x^2)$ por valor principal y parte finita). Para cualquier función suave y con un soporte compacto $varfi$se definen por
$$ langlemathrmP(tfrac1x),varphirangle = int_mathbbR fracvarphi(x)-varphi(0) x,mathrmd x $$
que también se puede escribir $langlemathrmP(tfrac1x),varphirangle = lim_varepsilonto 0int_ fracvarphi(x )x,mathrmd x$. Uno puede verificar fácilmente que
$$ x, mathrmP(tfrac1x) = 1 $$
Entonces la solución general para la primera ecuación es
$$ f(x) = a , mathrmP(tfrac1x) + b , delta_0 $$
De la misma manera, se puede definir
$$ langlemathrmpf.(tfrac1x^2),varphirangle = int_mathbbR fracvarphi(x)-varphi(0 )- x varphi'(0)x^2,mathrmd x $$
y entonces la solución general de la segunda ecuación es
$$ f(x) = a , mathrmpf.(tfrac1x^2) + b , delta_0 + c , delta_0′ $$
Editar: $delta_0(x)/x$ no tiene un significado claro en la teoría de la distribución. Sin embargo, como indica Simon Terrington, se podría definir $delta_0(x)/x = -delta_0′(x)$ ya que es una de las soluciones de la ecuación
$$ x,g(x) = -delta_0(x). $$
Siendo la solución general $g(x) = -delta_0′ + c, delta_0$. Es mejor usar solo $delta_0’$.
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