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Solución:
Sugerencias / guías sobre cómo resolver estas ecuaciones diferenciales:
$ mathbf 1 $ – Método de coeficientes indeterminados:
Comienza resolviendo la ecuación homogénea. $ y ” – 2y ‘+ y = 0 $ asumiendo que una solución será proporcional a $ e ^ lambda t $ para algunos $ lambda $. Sustituir y calcular $ lambda $. Note la multiplicidad de la solución para $ lambda $ y ajuste su solución general en consecuencia.
Luego, use el método de coeficientes indeterminados para encontrar una solución particular del problema para $ y ” – 2y ‘+ y = e ^ t $.
La solución general de la ecuación diferencial inicial será entonces la solución general del homogéneo más la solución particular que encontró.
Puede encontrar más información y ejemplos sobre ese método aquí.
$ mathbf 2 $ – Transformación de Laplace:
Esta es una forma muy rápida y directa de abordar el problema, pero necesita un manejo fluido de las técnicas de transformación de Laplace. Tenga en cuenta que puede aplicar la Transformación de Laplace sin siquiera necesitar condiciones iniciales, simplemente estableciéndolas como constantes.
Comienza aplicando la Transformación de Laplace.
$$ mathcal L _t big[f(t)big](s) = int_0 ^ infty f (t) e ^ – st mathrm d t $$
a ambos lados de la ecuación diferencial dada:
$$ mathcal L _t big[y” – 2y’ + y’] = mathcal L _t[e^t]$$
$$ Leftrightarrow $$
$$ (s-1) ^ 2 grande[mathcalL_t[y(t)](s) grande]- (s-2) y (0) – y ‘(0) = frac 1 s-1 $$
$$ Leftrightarrow $$
$$ mathcal L _t big[y(t)big](s) = frac y (0) (s ^ 2-3s + 2) + y ‘(0) (s-1) + 1 (s-1) ^ 3 $$
$$ = $$
$$ mathcal L _t big[y(t)big](s) = frac 1 (s-1) ^ 3 – frac y (0) (s-1) ^ 2 + frac y (0) s-1 + frac y ‘(0) (s-1) ^ 2 $$
$$ implica $$
$$ y (t) = frac 1 2 e ^ t (t ^ 2 + 2c_1 – 2c_1t + 2c_2t) = frac e ^ tt ^ 2 2 + c_1e ^ t – c_1e ^ tt + c_2e ^ tt $$
$ mathbf 3 $ – Variación de parámetros:
Debes repetir el paso de resolver la ecuación homogénea encontrando que $ lambda $s mencionado. Luego, enumerando la solución base como $ y_ b_1 = e ^ t $ y $ _ b_2 = e ^ tt $ puede usar la variación de parámetros para encontrar la solución general final calculando el Wronskian y encontrando las integrales:
$$ v_1 (t) = – int frac f (t) y_ b_2 (t) W (t) mathrm d t quad text y quad v_2 (t) = int frac f (t) y_ b_1 (t) W (t) mathrm d t $$
Puede encontrar más información y ejemplos sobre ese método aquí.
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