Por fin después de mucho batallar ya hallamos el resultado de esta incógnita que ciertos usuarios de esta web tienen. Si tienes algún detalle que compartir no dudes en aportar tu información.
Solución:
En el espacio-tiempo plano, el isomorfismo entre las componentes contra y covariante lo proporciona la métrica de Minkowski $eta_munu$. La métrica de Minkowski en dimensiones de espacio-tiempo $n$ es simplemente $operatornamediag(-1,1,dots,1)$. Así, para todas las dimensiones, $$operatornamedeteta=-1$$ Para cualquier matriz $ntimes n$ $A_munu$, existe un teorema bien conocido $$epsilon_ mu_1cdotsmu_noperatornamedetA=sum_isum_nu_iepsilon_nu_1cdotsnu_nA_nu_1mu_1cdots A_nu_nmu_n $$ donde no hemos hecho distinción entre covarianza y contravarianza. Pero supongamos que $A=eta$. Entonces todas las multiplicaciones por $eta$ elevarán los índices en $epsilon$. Y dado que $operatornamedeteta=-1$ en cualquier dimensión del espacio-tiempo, obtenemos $$epsilon^cdots=-epsilon_cdots$$ donde los puntos representan cualquier número de índices.
de Sean Carroll Espacio-tiempo y Geometría tiene una discusión completa de esto, y, aún mejor, esta discusión está en las notas de clase que se convirtieron en el libro (vea el Capítulo 2: Múltiples).
En general (al menos para cualquier sistema de coordenadas diestro), comenzamos con el símbolo $tildeepsilon_mu_1cdotsmu_n equiv [mu_1,cdots,mu_n]$, que es $0$ o $pm1$ dependiendo del signo de $mu_1,cdots,mu_n$ como una permutación de $0,cdots,(n-1)$. Entonces el tensor con índices más bajos obedece a $$ epsilon_mu_1cdotsmu_n = sqrtlvert g rvert tildeepsilon_mu_1cdotsmu_n = sqrtlvert g rvert [mu_1,cdots,mu_n]$$ donde $g$ es el determinante de la métrica.
Algunas personas definen un símbolo con índices superiores es lo mismo que con índices inferiores, pero por otro lado algunas personas incluyen un factor extra de $operatornamesgn(g)$. De hecho, esto es lo suficientemente ambiguo como para que Carroll establezca una versión en las notas vinculadas y la otra versión en el libro final publicado.
En cualquier caso, el tensor con índices superiores es inequívocamente $$ epsilon^mu_1cdotsmu_n = frac1g epsilon_mu_1cdotsmu_n = fracoperatornamesgn(g) sqrtlvert g rvert [mu_1,cdots,mu_n]. $$
Al final, debería usar los tensores completos en los cálculos, al menos si todo lo demás en la fórmula es un true tensor. En el espacio-tiempo plano, la métrica es $operatornamediag(-1,+1,+1,+1)$, entonces $g = -1$ y tenemos beginalign epsilon_mu_1cdots mu_n & = fantasma-[mu_1,cdots,mu_n]\ epsilon^mu_1cdotsmu_n & = -[mu_1,cdots,mu_n]. endalinear