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Solución:
No hay forma de escapar de la teoría de la mentira si quieres entender lo que está pasando matemáticamente. Intentaré proporcionar algunas imágenes intuitivas de lo que sucede en las notas al pie, aunque no estoy seguro de si será lo que está buscando.
En cualquier espacio vectorial (de dimensión finita, para simplificar), el grupo de operadores unitarios es el grupo de Lie $ mathrm U (N) $, que está conectado. Los grupos de mentiras son colectores, es decir, cosas que localmente se parecen a $ mathbb R ^ N $, y como tales poseen espacios tangentes en cada punto abarcado por las derivadas de sus coordenadas – o, de manera equivalente, por todos los posibles direcciones de caminos en ese punto. Estas direcciones forman, en $ g in mathrm U (N) $, el espacio vectorial $ N $ -dimensional $ T_g mathrm U (N) $.1
Canónicamente, tomamos el espacio tangente en la identidad $ mathbf 1 in mathrm U (N) $ y lo llamamos álgebra de Lie $ mathfrak g cong T_ mathbf 1 mathrm U (N) $. Ahora, desde los espacios tangentes, hay algo llamado mapa exponencial hasta la variedad misma. Es un hecho que, para grupos compactos, como el grupo unitario, dicho mapa es sobreyectivo sobre la parte que contiene la identidad.2 Es un hecho adicional que el grupo unitario es conectado, lo que significa que no tiene partes que no estén conectadas a la identidad, por lo que el mapa exponencial $ mathfrak u (N) to mathrm U (N) $ es sobreyectivo, y por lo tanto cada operador unitario es el exponencial de algún Elemento de álgebra de mentira.3 (El mapa exponencial es siempre sobreyectiva localmente, por lo que somos en principio capaz de encontrar formas exponenciales para otros operadores también)
Entonces, lo anterior (y las notas) responde a sus primeras tres preguntas: Siempre podemos representar un operador unitario como ese, ya que $ mathrm U (N) $ es compacto y está conectado, el exponencial de un operador significa “entrar la dirección especificada por ese operador “, y mientras $ mathcal U $ se encuentra en el grupo de Lie, $ mathcal T $ se encuentra, como su generador, en el álgebra de Lie. También se dice que $ mathcal T $ es el generador infinitesimal de $ mathcal U $, ya que, en $ mathrm e ^ alpha mathcal T $, podemos verlo como dando solamente la dirección de la operación, mientras que $ alpha $ nos dice qué tan lejos de la identidad estará la exponencial generada.
los significado físico es una cosa difícil de decir en general; a menudo, será que $ mathcal T $ es un generador de una simetría, y el operador unitario $ mathcal U $ es la versión finita de esa simetría, por ejemplo, el hamiltoniano $ H $ genera la traslación de tiempo $ U $, los momentos angulares $ L_i $ generan las rotaciones $ mathrm SO (3) $, y así sucesivamente, y así sucesivamente – el generador es siempre el versión infinitesimal del operador exponenciado en el sentido de que
$$ mathrm e ^ epsilon T = 1 + epsilon T + mathcal O ( epsilon ^ 2) $$
por lo que el operador generado, para $ epsilon $ pequeños, se desplazará de la identidad casi exactamente $ epsilon T $.
1 Piense en el círculo (que es $ mathrm U (1) $): en cada punto del círculo, puede dibujar la tangente, que es $ mathbb R $, un espacio vectorial 1D. La longitud del vector tangente especifica “qué tan rápido” se atravesará la ruta en esa dirección.
2 Pensar en esfera bidimensional (que, lamentablemente, no es un grupo de Lie, pero ilustrativo para el mapa exponencial). Tome el espacio de la tangente en un punto e imagine que en realidad está sosteniendo una hoja de papel junto a una esfera. Ahora “desmenuce” el papel alrededor de la esfera. Terminarás cubriendo toda la esfera, y si el papel es lo suficientemente grande (tendría que ser infinito para representar el espacio tangente), incluso puedes enrollarlo alrededor de la esfera varias veces, mostrando así que el mapa exponencial no puede ser inyectivo, pero se ve fácilmente como sobreyectiva. Una noción más precisa de este desmoronamiento sería fijar una medida de longitud en la esfera y mapear cada vector en el álgebra a un punto en la esfera caminando en la dirección indicada por el vector exactamente hasta donde su longitud lo indique.
3 Esto es bastante fácil de entender – si hubiera alguna parte del grupo completamente desconectada de nuestro grupo, o si nuestro grupo tuviera un volumen infinito (si fuera no compacto), no podíamos esperar cubrirlo por completo con una sola hoja de papel, por muy grande que fuera.
Bueno, la mecánica cuántica es famosa por no ser intuitiva para terrícolas como nosotros, pero el siguiente par de hechos podrían ayudar:
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Los observables en mecánica cuántica son operadores hermitianos / autoadjuntos.
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El espectro $ rm Spec ( hat A) subseteq mathbb R $ de un operador hermitiano / autoadjunto $ hat A $ pertenece al eje real $ mathbb R subseteq mathbb C $, cf. por ejemplo, esta publicación Phys.SE.
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El espectro $ rm Spec ( hat U) subseteq = 1 $ de un operador unitario pertenece al círculo unitario.
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La función $ z mapsto e ^ iz $ asigna el eje real al círculo unitario.
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El teorema de Stone establece a grandes rasgos una correspondencia $ hat U = e ^ i hat A $ entre operadores unitarios y autoadjuntos.
Aquí hay un suplemento a la excelente respuesta de ACuriousMind, que:
- Profundiza en el significado de “caminar en la dirección especificada por [an] operador.”
- Conecta esto con la operación más familiar de exponenciar un número complejo.
- Da otra versión del significado físico de exponenciación.
¡Lo siento, es tan largo! Si no tiene ganas de leerlo todo, es posible que desee pasar a la última sección, que no depende demasiado de las anteriores.
Comencemos mirando el grupo de Lie $ U (1) $, el grupo de rotaciones del plano complejo. Geométricamente, $ U (1) $ parece un círculo. De hecho, es natural identificar $ U (1) $ con el círculo unitario en $ mathbb C $, porque si $ a $ es un número complejo con $ | a | = 1 $, la transformación “multiplicar por $ a $” es una rotación sobre el origen, la rotación que envía $ 1 $ a $ a $. La identidad $ mathbf 1 en U (1) $ corresponde al punto $ 1 $ en el círculo unitario, porque “multiplicar por $ 1 $” es rotación por cero radianes.
Como dijo ACuriousMind, el álgebra de Lie de un grupo de Lie se puede definir como el espacio tangente en la identidad, el espacio de posibles velocidades de caminos a través de la identidad. Si piensa en $ U (1) $ como el círculo unitario en $ mathbb C $, puede ver este espacio tangente de manera muy explícita: es la línea tangente al círculo unitario en $ 1 $, que se puede identificar naturalmente con la “línea imaginaria” $ i mathbb R $.
Ahora, aquí hay un hecho interesante sobre los grupos de Lie: si eliges una velocidad en el elemento de identidad, ¡naturalmente se extiende a un campo de velocidad definido en todas partes del grupo! Así es cómo.
Si estás caminando a lo largo de un grupo de Lie $ G $ y te sientes solo, puedes imaginar que tienes un gemelo caminando por un camino que es como el tuyo, pero “traducido” por un elemento $ g $ de $ G $ : cuando estás en $ h $, tu gemelo está en $ gh $. Siempre que recorre la identidad, su gemelo recorre $ g $, por lo que su velocidad en la identidad corresponde a una velocidad gemela en $ g $. La conexión entre tu movimiento y el movimiento de tu gemelo da una correspondencia entre los espacios tangentes $ T _ mathbf 1 G $ y $ T_gG $.
Si todavía estás solo, puedes imaginar que tienes un gemelo por cada elemento de $ G $, todos caminando contigo al mismo paso. Cuando estás en la identidad, tu $ g $ twin está en $ g $, tu $ g ‘$ twin está en $ g’ $, y así sucesivamente, tienes un gemelo en cada punto de $ G $. Por lo tanto, su velocidad en la identidad corresponde a una velocidad en cada punto en $ G $. A través de sus gemelos, su velocidad en la identidad se extiende a un campo de velocidad definido en todas partes del grupo.
Un campo de velocidad que proviene de un grupo de personas que caminan al unísono como este se llama campo vectorial invariante a la izquierda. Usando este vocabulario, podemos reafirmar el hecho interesante de antes diciendo que …
En un grupo de Lie, elegir una velocidad en la identidad es lo mismo que elegir un campo vectorial invariante a la izquierda.
Para un ejemplo concreto, veamos cómo una velocidad en la identidad de $ U (1) $ se extiende a un campo de velocidad definido en todas partes en $ U (1) $:
Como era de esperar, los campos vectoriales invariantes a la izquierda en $ U (1) $ son precisamente los campos vectoriales simétricos de rotación en el círculo unitario.
Ahora, digamos que tiene un elemento $ v $ del álgebra de Lie $ mathfrak u (1) $, que acabamos de ver es lo mismo que tener un campo vectorial invariante a la izquierda en $ U (1) $. Si está parado en la identidad en $ U (1) $ y está aburrido, puede entretenerse tratando de caminar para que su velocidad siempre coincida con el campo de velocidad $ v $. Resulta que siempre hay exactamente una forma de hacer esto, así que si lo haces durante el tiempo $ t $, siempre terminarás en el mismo lugar. Este elemento de grupo se llama $ exp_t v $. Puede pensar en $ exp_t $ como una función que convierte los elementos del álgebra de Lie en elementos del grupo de Lie; se llama el Grupo de mentiras exponencial. Escribir un elemento $ a $ de $ U (1) $ en forma exponencial significa encontrar un campo vectorial invariante a la izquierda $ v in mathfrak u (1) $ que te llevará a $ a $ en una unidad de tiempo , entonces $ a = exp_1 v $.
Si piensa en $ U (1) $ como el círculo unitario en $ mathbb C $, hay una forma muy concreta de calcular $ exp_t v $. Vimos anteriormente que $ mathfrak u (1) $ se puede identificar naturalmente con $ i mathbb R $, por lo que podemos pensar en $ v $ como un número imaginario. Puede convertir este número en un campo de velocidad definido en todo el plano complejo diciéndoles a las personas en $ z in mathbb C $ que se muevan con velocidad $ vz $:
Si eres un científico elegante, “decirle a la gente en $ z $ que se mueva con velocidad $ vz $” suena demasiado indigno, así que escribe esta oración como la ecuación diferencial
$$ frac dz dt = vz. $$
En esta ecuación, $ v $ es un número imaginario constante y $ z $ es un número complejo dependiente del tiempo. Si sabe un poco de cálculo, puede verificar que $ z (t) = e ^ vt $ satisface la ecuación, con $ z (0) = 1 $. Por tanto, si comienza en la identidad de $ U (1) $ y sigue el campo de velocidad $ v $ para el tiempo $ t $, terminará en $ e ^ vt $. Eso significa $$ exp_t v = e ^ vt. $$ Hemos descubierto que, si miras las cosas de la manera correcta, el grupo de Lie exponencial para $ U (1) $ coincide con el exponencial familiar de números complejos !
Como dice su libro de texto, cada operador unitario tiene una forma exponencial: en otras palabras, cualquier elemento $ g $ del grupo de Lie $ U (n) $ puede escribirse como $ exp_1 v $ para algún campo vectorial invariante a la izquierda $ v in mathfrak u (n) $. ¿Cuál es el significado físico de esto?
En mecánica cuántica, los operadores unitarios representan simetrías, por lo que una consecuencia física del hecho anterior es que …
En mecánica cuántica, cualquier simetría puede hacerse continua.
Una vez que expresas una simetría como un $ exp_1 v $ exponencial, ves que viene incrustado en toda una familia de simetrías $ exp_t v $. Cuando $ t = 1 $, recuperas tu simetría original, cuando $ t = 0 $, obtienes la identidad, y cuando $ t in (0, 1) $ obtienes algo intermedio.
Aquí hay un ejemplo de este hecho en acción. Uno de los tipos más comunes de simetría en física, tan común que a menudo ni siquiera pensamos en ella como una simetría, es la evolución en el tiempo. Digamos que tiene un sistema físico que evoluciona en pasos de tiempo discretos. La simetría que te hace avanzar un paso en el tiempo estará representada por un operador unitario $ U $. Si escribe $ U $ en forma exponencial como $ exp_1 v $, puede hacer que la evolución del tiempo sea continua declarando que $ exp_t v $ lo mueve hacia adelante $ t $ unidades de tiempo, para cualquier número real $ t $.
Por supuesto, hay una trampa: generalmente hay muchas formas diferentes de escribir un operador unitario dado en forma exponencial. Por ejemplo, el operador $ frac 1 2 + i frac sqrt 3 2 $ en $ U (1) $ se puede expresar como $ exp_1 i frac pi 3 $, pero también se puede expresar como $ exp_1 i left ( frac pi 3 + 2 pi right) $. Por lo tanto, si desea convertir una simetría discreta en una continua, generalmente no existe una única “forma correcta” de hacerlo.