Solución:
Las transformaciones de Legendre se utilizan comúnmente en termodinámica (para cambiar entre diferentes variables independientes) y mecánica clásica (para cambiar entre los formalismos de Lagrange y Hamilton). Pero preguntas con razón: ¿qué es exactamente una transformación de Legendre? ¿De dónde viene? ¿Qué lo hace funcionar?
En (1D) mecánica clásica, por ejemplo: si tenemos una $ L (q, dot {q} lagrangiana[,t]) $, ¿por qué podemos definir una variable
$$ p = frac { parcial L} { parcial dot {q}} $$
y esperar poder construir una nueva función (el hamiltoniano) $$ H (q, p[,t]) = p dot {q} -L (q, dot {q}[,t]) $$ que se porta bien? ¿Cuál es la relación entre ambas funciones?
Veamos el lagrangiano y el hamiltoniano como ejemplo guía. Lo mantendré bastante abstracto / general, pero la notación de lagrangiano / hamiltoniano puede ayudar a que las cosas sean más concretas y claras.
Sin embargo, una cosa que haré es omitir la dependencia explícita del tiempo. No es importante para nuestro análisis y la mayoría de las veces no habrá una dependencia explícita del tiempo. Además, denotaré $ v equiv dot {q} $ para poner menos énfasis en la relación con $ q $, ya que no es importante para la transformación de Legendre.
Entonces, ¿qué necesitamos para una transformación de Legendre?
Bueno, en primer lugar, necesitamos dos variables $ v $, $ p $ que sean funciones de un solo valor entre sí. Otra forma de expresarlo es que $ p $ debe ser una función monótona de $ v $ y viceversa. La figura 1 muestra un ejemplo de tal función.
Figura 1. Ejemplo de una relación de un solo valor entre $ v $ y $ p $.
Para tales variables siempre es posible construir un par de funciones con la propiedad de que la diferenciación de una de las funciones con respecto a una de las variables da como resultado la segunda variable. De manera equivalente, la derivada de la segunda función con respecto a esta segunda variable produce la primera variable.
En nuestro ejemplo de mecánica clásica, las funciones que podemos construir para nuestras dos variables $ v $ y $ p $ son el $ L (q, v) $ lagrangiano y el $ H (q, p) $ hamiltoniano. $ ^ 1 $ Satisfacen (por definición) las relaciones diferenciales
$$ begin {align} frac { parcial L} { parcial v} & = p \ frac { parcial H} { parcial p} & = v end {align} $$
¿Por qué funciona?
De hecho, ¿por qué pueden construimos tales funciones? Eche otro vistazo a la figura 1. La forma en que está configurada la gráfica, parece una gráfica de $ p $ en función de $ v $. Entonces, si integramos esta función entre $ 0 $ y algún valor $ v $ (que se muestra en el gráfico), la respuesta que obtenemos es el área naranja debajo de la curva. ¡Esta integral es nuestra primera función! De hecho, si volvemos a la notación de nuestro ejemplo clásico (voy a dejar de lado la dependencia $ q $ de ahora en adelante):
$$ L (v) = int_0 ^ v {p (v ‘) dv’} $$
porque
$$ frac { parcial L} { parcial v} = frac { parcial} { parcial v} int_0 ^ v {p (v ‘) dv’} = p. $$
Ahora bien, si consideramos que la curva de la Figura 1 es $ v $ en función de $ p $ (gire el gráfico si eso lo aclara más), podemos hacer un razonamiento similar. Esta vez integramos entre $ 0 $ y $ p $ donde $ p $ ha sido elegido para corresponder a nuestro $ v $ anterior. $ ^ 2 $ Esta integral es nuestra segunda función; así que en términos de nuestro ejemplo clásico 1D:
$$ H (p) = int_0 ^ p {v (p ‘) dp’}. $$
Puede que hayas notado que hemos descrito un rectángulo con las integrales (y por lo tanto las dos funciones $ L $ y $ H $). Este rectángulo tiene una superficie total de $ p cdot v $. Pero también hemos calculado su superficie en dos partes: la verde y la naranja. Por tanto, la suma de ambos debe ser igual a $ pv $. Esto produce la transformación de Legendre.
$$ L (v) + H (p) = pv $$
o
$$ H (p) = pv – L (v) $$.
¿Cómo funciona una transformación de Legendre en la práctica?
Aquí hay un plan de 3 pasos:
-
Comience con su primera función, por ejemplo, $ L (v) $. $ left[right.$or $U(S)$ for a thermodynamical example$left.right]PS
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Encuentra el variable conjugada por diferenciación:
$$ p = frac { parcial L} { parcial v} hspace {2cm} left[T = frac{partial U}{partial S}right]$$
-
Construye la segunda función
$$ H (p) = p cdot v – L (v) hspace {2cm} left[left(-F(T)right) = Tcdot S – U(S)right]$$
e inserte la variable conjugada siempre que pueda, es decir, reemplace $ v $ $[S]$ con la expresión $ v (p) $ $[S(T)]$ en toda la expresión.
En parte de la Figura 1, ahora debería quedar claro que las dos funciones no solo son generalmente diferentes entre sí, sino que describen las cosas desde una perspectiva diferente (tuvimos que ver la curva en la Figura 1 una vez como una función $ p (v) $ y una vez como función $ v (p) $). Las funciones son complementarias y su estrecha relación se rige por una transformación de Legendre.
$ ^ 1 $ Estas también son funciones de $ q $, pero eso no es importante. Podrían ser funciones de cualquier número de variables distintas, aunque su lista de variables será obviamente la misma excepto para $ v $ y $ p $. De hecho, la transformación de Legendre no cambia ninguna de las otras dependencias. Si esto no está claro ahora, debería serlo a lo largo del resto de esta explicación.
$ ^ 2 $ Tenga en cuenta que aquí es donde se requiere el valor único de la relación entre $ v $ y $ p $. Si $ v (p) $ fuera una parábola, por ejemplo, habría ambigüedad acerca de qué $ p $ corresponde al $ v $ que usamos.
Ver
http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_transformation#Applications
En física teórica, las propiedades matemáticas básicas o definitorias de la transformación de Legendre se utilizan para cambiar entre una forma de energía – o “potencial”, como se llama a las energías generalizadas en termodinámica – a otra.
Esto es importante para cambiar entre el lagrangiano en la mecánica abstracta que depende de $ x, v $ (posiciones y velocidades) al hamiltoniano, la energía verdadera que depende de $ x, p $.
En termodinámica, el número de aplicaciones y “tipos de interruptores” es aún mayor. Puede pasar de energía a entalpía o energía libre de Helmholtz o energía libre de Gibbs mediante la transformación de Legendre con respecto a varias variables. La transformación va y viene. Como explica el ejemplo de Wikipedia, hay otras variables útiles sobre las que puede transformar Legendre, incluida la carga y el voltaje.
Puede considerar que la transformación de Legendre es una “mera” redefinición de variables, pero por eso es tan importante en la práctica. En realidad, las diferentes formas de describir el sistema que se diferencian por una transformación de Legendre son “igualmente fundamentales” o “igualmente naturales”, por lo que a menudo es útil estar familiarizado con todos ellos y saber cuál es la relación entre ellos. La relación viene dada por la transformación de Legendre.
Encuentro que la interpretación del análisis convexo de la transformada de Legendre es la más esclarecedora.
(esta es una adaptación de una publicación de blog que escribí para un sitio web que desde entonces ha sido eliminado)
Un conjunto convexo está determinado únicamente por sus hiperplanos de soporte. La transformada de Legendre es una codificación del casco convexo del epígrafe de una función en términos de sus hiperplanos de soporte. Si la función es convexa y diferenciable, entonces los hiperplanos de apoyo corresponden a la derivada en cada punto, por lo que la transformada de Legendre es una codificación de la información de una función en términos de su derivada.
A apoyo hiperplano de una región es el hiperplano orientado más cercano posible a esa región, entre todos los hiperplanos con una normal dada, de modo que todos los puntos en esa región residen en el exterior del hiperplano.
Un conjunto convexo cerrado está determinado únicamente por sus hiperplanos de soporte.
¿Por qué? Ningún hiperplano de apoyo puede “cortar” el conjunto que soporta, y para cada punto fuera del conjunto, existe un hiperplano que lo separa del conjunto.
Una función convexa cerrada está determinada únicamente por sus hiperplanos de soporte inferiores.
los Transformación de Legendre, $ f ^ * $, es una codificación de una función $ f $apoya hiperplanos.
En 1 dimensión ($ f: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} $), la transformación de Legendre es
$$ f ^ * (m): = sup_ {x in mathbb {R}} ~ (mx – f (x)). $$
- El argumento del supremo es la brecha entre la función y una línea con pendiente $ m $.
- El supremo se logra donde la línea de apoyo apenas toca $ f $gráfico de.
- $ f ^ * $ codifica toda la información sobre $ f $líneas de apoyo. Das $ f ^ * $ una pendiente, $ m $, y $ f ^ * (m) $ te dice cuánto desplazar una línea con pendiente $ m $ hacia arriba o hacia abajo, de modo que apenas toque el gráfico de $ f $.
En n dimensiones ($ f: mathbb {R} ^ n flecha derecha mathbb {R} $),
$$ f ^ * ( mathbf {m}): = sup _ { mathbf {x} in mathbb {R} ^ n} ~ ( langle mathbf {m}, mathbf {x} rangle – f ( mathbf {x})), $$
dónde $ langle cdot, cdot rangle $ es el producto interior.
Si $ mathbf {m} = (m_1, m_2, puntos, m_n) $ es un vector de pendientes, entonces $ f ^ * ( mathbf {m}) $ es el desplazamiento hacia arriba / hacia abajo del hiperplano con pendientes direccionales $ (m_1, m_2, puntos, m_n) $, de modo que el hiperplano apenas toca el gráfico de $ f $.
$ f ^ * $ codifica la información sobre todos los $ f $apoya hiperplanos. das $ f ^ * $ un vector de pendiente $ mathbf {m} $, y $ f ^ * ( mathbf {m}) $ le dice cuánto desplazar el hiperplano con el vector de pendiente $ mathbf {m} $ hacia arriba o hacia abajo de modo que apenas toque el gráfico de $ f $.
Aquí hay algunos otros enlaces que discuten esta perspectiva de análisis convexo de la transformada de Legendre:
http://jmanton.wordpress.com/2010/11/21/introduction-to-the-legendre-transform/ (gran explicación detallada)
http://www.mia.uni-saarland.de/Teaching/NAIA07/naia07_h3_slides.pdf
Como acotación al margen, esta intuición también se extiende a dimensiones infinitas. Es decir, $ f: X flecha derecha mathbb {R} $, dónde $ X $ es un espacio de Banach. Allí está la transformación de Legendre
$$ f ^ * ( phi): = ( phi (x) – f (x)), $$
dónde $ phi $ es un funcional lineal. La idea de un hiperplano es menos clara, pero uno podría pensar en $ text {ker} ( phi) + b $ como una generalización de un hiperplano desplazado por altura $ b $ desde el origen.