Después de consultar expertos en el tema, programadores de deferentes ramas y maestros hemos dado con la respuesta al problema y la dejamos plasmada en este post.
Solución:
La razón fundamental para cambiar los límites de integración es que la variable de integración ha cambiado.
La sustitución es un caso obvio en el que es probable que esto ocurra. Por ejemplo, sustituya $u = x – 2$ en $int (x – 2) dx$: $$ int_0^2 (x – 2) dx = int_-2^0 u; du. $$ La intuición que sigo en esto es que el inicio de la integral ocurre “cuando $x=0$” y termina “cuando $x=2$”. Pero “cuando” $x=0$, también debe ser true que $u=-2$, y “cuando” $x=2$, también debe ser true que $u=0$. Asi que en términos de $u$, la integral debe comenzar “cuando $u=-2$” y terminar “cuando $u=0$”.
Un tratamiento más riguroso tomaría $x – 2$ como una función sobre el dominio $[0,2]$ y transformarlo; pero transformar la función también transforma su dominio, entonces $x – 2$ sobre el dominio $[0,2]$ se transforma en $u$ sobre el dominio $[-2,0]ps
Cualquier cosa eso cambia la variable de integración de una integral definida también tiene que reflejarse en los límites de integración, porque al igual que con cualquier sustitución, estás integrando una función (posiblemente) diferente sobre un dominio (posiblemente) diferente. Es decir, si el integrando cambia de $f(t)dt$ a $h(v)dv$ (incluso si $h(v)$ es una función constante, como lo es en la pregunta), la integral sobre $v $ debe comenzar y terminar en valores de $v$ que coincidan correctamente con los valores de $t$ en los que comenzó y terminó la integral sobre $t$.
Nótese que en cualquier cambio de variable, independientemente de si lo logramos escribiendo primero una fórmula de sustitución explícita (como $u = x – 2$), tiene que tener en cuenta la derivada de la nueva variable de integración con respecto a la el viejo. Para una sustitución de $t$ por $u$ a través de la ecuación $u = h(t)$, la derivada de la nueva contra la anterior es $dfracdudt = h'(t)$ y se tiene en cuenta en la regla $$ int g(h(t)), h'(t), dt = g(u), du. $$ Hasta donde yo sé, un cambio de variables no debe romper esta regla, por lo que de alguna manera debe haber una sustitución $u = h(t)$ que pueda explicarlo.
En la integral de la pregunta, $f(t) = m dfracd^2 xdt^2$. Si $dfracdxdt = v = h(t)$ y si $g$ es la función constante con valor $m$, entonces $dfracd^2 xdt^2 = dfracdvdt = h'(t)$ y $g(h(t)) = m$, entonces $$ int m fracdvdt , dt = int g(h (t)), h'(t), dt = int g(v), dv = int m , dv. $$ La integral definida sigue la misma regla pero también tiene que hacer el cambio correspondiente al intervalo de integración: $$ int_t_0^t_1 g(h(t)), h'(t), dt = int_h(t_0)^h(t_1) g(v), dv; $$ configurando $v_0=h(t_0)$ y $v_1=h(t_1)$, $$ int_t_0^t_1 m fracdvdt , dt = int_h( t_0)^h(t_1) m , dv = int_v_0^v_1 m , dv. $$
Además de sus prefactores (como la masa), cuando integra $dv/dt$, integra la derivada de una función, por lo que todos sabemos que la respuesta es la función misma. Por lo tanto: $$int_t_0^t_1 v^prime(t), dt = v(t_1) – v(t_0)$$
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