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Si un campo vectorial no tiene divergencia ni curvatura, ¿ese campo vectorial es = 0?

Indagamos en diferentes espacios para mostrarte la solución a tu problema, si continúas con preguntas déjanos tu pregunta y contestaremos con mucho gusto.

Solución:

No. Para tener una idea de lo que sucede, dejemos que $phi$ sea una función armónica no constante, por lo que $nabla^2 phi = 0$ pero $nabla phi ne 0$. Establecer $mathbf F = nabla phi ne 0$; luego Entonces $nabla times mathbf F = nabla times nabla phi = 0, ,$ ya que el rotacional de un gradiente siempre desaparece. Además, $nabla cdot mathbf F = nabla cdot nabla phi = nabla^2 phi = 0$. La divergencia y la curvatura de $mathbf F$ desaparecen, ¡pero no $mathbf F$!

Esta línea de razonamiento puede, como una cinta o una película, rebobinarse y ejecutarse "hacia atrás": si $mathbf F ne 0$ y $nabla times mathbf F = 0$, entonces (al menos localmente) hay es una función $phi$ con $mathbf F = nabla phi ne 0$; si ahora también tenemos $nabla cdot mathbf F = 0$, entonces $nabla^2 phi = nabla cdot nabla phi = nabla cdot mathbf F = 0$, y $phi $ es armónico.

Los ejemplos clásicos de tal campo se pueden encontrar en la teoría elemental del electromagnetismo: en ausencia de fuentes, es decir, cargas y corrientes, static Los campos eléctricos (que no varían en el tiempo) $mathbf E$ y los campos magnéticos $mathbf B$ tienen una divergencia y una curvatura que desaparecen: $nabla times mathbf B = nabla times mathbf E = 0$, y $ nabla cdot mathbf B = nabla cdot mathbf E = 0$; la función de potencial electrostático $phi$ tal que $mathbf E = -nabla phi$ con $nabla^2 phi = 0$ existe en virtud de estos hechos; una afirmación similar es válida para el campo $mathbf B$.

Espero que esto ayude. alegre,

y como siempre (como nos enseñó el viejo James Clerk M.),

¡¡¡Fiat lux!!!

No. Solo considere un campo vectorial constante distinto de cero, es decir, $$V=(a,b,c)$$ para algunas constantes distintas de cero $a, b, c$. Entonces el rotacional de $V$ es vector cero, y la divergencia de $V$ es $0$.

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