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Si toda serie absolutamente convergente es convergente entonces $X$ es Banach

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Solución:

Para el argumento inverso; Sea $X$ un espacio lineal normado en el que convergen todas las series absolutamente convergentes, y supongamos que $x_n$ es una sucesión de Cauchy.

Para cada $k in mathbbN$, elige $n_k$ tal que $||(x_m − x_n)|| < 2^−k$ para $m, n geq n_k$. En particular, $||x_n_k+1−x_n_k||< 2^-k$. Si definimos $y_1 = x_n_1$ y $y_k+1 = x_n_k+1 − x_n_k$ para $k geq 1 $, se sigue que $sum ||y_n|| ≤ ||x_n_1 || + 1$ es decir, ($y_n$) es absolutamente convergente y, por lo tanto, convergente.

Un espacio normado es completo si y solo si toda serie absolutamente convergente converge.

$implica$

Probaremos esto probando que una serie absolutamente convergente es una serie de Cauchy.

Definimos una serie absolutamente convergente. Suponer $x_nen E$ y $sum_n=1^infty||x_n|| y denota
$$ s_n=sum_k=1^nx_k $$
Como la sucesión de sumas parciales converge en E, para todo $épsilon >0 $existe $k>0$ tal que
$$ sum_n=k+1^infty ||x_n||
Mostrar $(s_n)$ es una sucesión de Cauchy, $para todos epsilon>0,existe M,para todos m,n>M$ tal que
$$ ||s_m-s_n||=||x_n+1+x_n+2+dotsm+x_m||le sum_r=n+1^infty ||x_r| |<épsilon $$
(sin pérdida de generalidad, suponemos $m>n$)

Como E es completo, $s_n$ converge

$Flecha izquierda larga$

Necesitamos demostrar que si toda serie absolutamente convergente en un espacio normado converge, entonces el espacio normado es completo.

Dejar $(x_n)$ ser una sucesión de Cauchy en E y por lo tanto $para todos epsilon>0,existe p_ken N,para todos m,n>p_k$ tal que
$$ ||x_m-x_n||<2^-k $$
sin pérdida de generalidad, podemos suponer $(p_k)$ es estrictamente creciente.

Entonces la serie $sum_k=1^infty (x_p_k+1-x_p_k)$ es absolutamente convergente y por lo tanto, convergente y por lo tanto, la sucesión
$$ x_p_k=x_p_1+(x_p_2-x_p_1)+(x_p_3-x_p_2)+dotsm+(x_p_k-x_p_k- 1) $$
converge a un elemento $xen E$

Entonces
$$ ||x_n-x||le ||x_n-x_p_n||+||x_p_n-x||flecha derecha 0 $$
QED

Pista: muestra que hay una subsecuencia $y_n$ tal que $|y_n – y_n+1| < 2^-n$.

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